补充资料：群在流形上的作用

群在流形上的作用
action of a group on a manifold

群在流形上的作用t咖门of ag阴p .am耐奴d;八e曲eT.能rP抑阳.a Mlloro浦Pa3二』 群在空间上的作用的一般概念中研究得最透彻的情形·拓扑群G作甲李宇回X牛，如果每个。“G对应着X(到自身)的一个同胚礼，满足以下条件:l)中，“叭=礼。;2)对单位元e 6G，映射叭是恒等同胚:3)映射沪:GxX~X，势勿，x)=几(x)连续.如果X和G有附加结构，与这些结构相容的G的作用特别令人感兴趣;因此，若X是微分流形，而G是一个Lie群，则通常假定映射争可微. 集合{叽(x0)}，。。称为点x。‘X关于群G的热道(orbi‘或trajecto卿);热道宇回(orbi‘spaCe)记作X/G，也称为宇回X羊于群G的亨宇卿(quotien‘sPa二).一个重要的例子是X为Lie群，G为其子群的情形;此时，X/G是相应的齐性空间(homo罗ncous sPace).经典的例子包括球面s”一‘=0(n)/o(n一l)， Grassmann流形O(n)/(O(m)xo(”一m))和Stiefel流形O(n)/O(m)(见Gn硬旧Inann流形(Grassmann manifold);Sdefel流形(stiefel manifold)).此处轨道空间是一个流形.如果群的作用不是自由的，例如，如果不动点集X“非空，则通常不是这种情况.群的自由作用(free action ofagrouP)是这样一个作用:若对任意xeX有gx=x，则g二e.反之，如果X是一个微分流形且G的作用可微，则X“是一个流形;这个断言对吞上的上同调流形及G一孔也成立(smi‘h牢浮(smi‘h‘heorem))· 如果G是非紧群，则空间X/G通常是不可分的，这正是对单个轨线及它们的相互位置有兴趣加以研究的原因.以微分方式作用在微分流形X上的实数群G=R是一个经典的例子.这种用局部坐标表述的动力体系的研究，等价于常微分方程组的研究，通常用到分析方法. 如果G是紧群，那么已经知道若X是一个流形，且每个g任G(g特e)非平凡地(即不对应规律(g，x)~x)作用在x上，则G是Lie群(18]).相应地，对紧群作用的主要兴趣是Lie群的作用. 设G是紧Lie群，X是紧上同调流形.以下结果是典型的.X中存在有限多个轨道型，且轨道的邻域看上去像直积(切拉宇理(slice‘heorem));空间X，x/G和xG的上同调结构之间的关系是有趣的. 如果G是紧Lie群，X是微分流形，且作用 沪:‘XX、X可微，则自然得到以下的等价关系:(X，叻一(X’，训)，当且仅当有可能找到(x“，中“)，使边界汀“具有形式汀“二XU厂且伞“!:二中，衅!、=甲‘.如果群G自由地作用，则等价类可以从与分类空间凡的下配边Q.(凡)的一一对应中找到(见下配边(bordism)).近代(19世纪70年代中叶)的结果，重要的部分是:l)在关于群G和流形X的各种附加假定下，确定轨道的类型(【61);2)群作用的分类;3)找出流形x的整体不变量与G在X“的不动点邻域中群作用的局部性质之间的关系.在解决这些间题时，以下理论和方法起很重要的作用:现代微分拓扑的方法(如换球术);凡理论(川)，它与G向量丛的K理论类似;下配边和配边理论([3]);在G丛中伪微分算子研究的基础上研究群G作用的分析方法(12』，17]).

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