补充资料：Lebesgue积分

Lebesgue积分
Lebesgue integral

I月赶卿皿积分[l月把馨班加懊，l;几esera皿Te印叨〕 积分(inte邵al)概念的最重要推广.设(X，拜)为具有非负完全可数可加测度拜(见可数加性集函数(co四ta目y心出iti说set丘旧ction);测度空间(m巴lsuxesPace))的空间，这里拜X<十田.简单函数(sln1Ple丘川ction)是可测函数(nl芝巧ulable fonction)g:X~R’，它至多取可数个值:如果x“X。，日孔，X。二X，夕(x)=夕。，对n并k，y。笋夕*.简单函数夕称为可和的(sullllr以比)，如果级数 艺，。拜X·绝对收敛(见绝对收敛级数(a比司ute】y conve任笋ntser-此));此级数的和即为仕比gue积分 丁。‘。· X函数f:X~R’称为在X上可和的，feLI(X，#)，如果有简单可和函数列g。，在全测度集上一致收敛(四面而conVelg泊ce)于f，并且极限。呱了。。过。一，有限.数，即为玫比彝积分扮己。.这是完整的定义:极限I存在且不依赖于序列g。的选择.若f〔L，(X，川，则f为X上可测的几乎处处有限函数.1月比gije积分为L，(X，川上非负线性泛函且具有下列性质: l)若f“L:(X，拜)且拜{x〔X:f(x)笋h(x)}=o，则人‘L、(X，拼)且 丁f己。一J*J。. XX 2)若f任L，(X，拜)，则If}‘L，(X，拜)且 …)叫·勿、。. 3)若f‘Ll(X，川，{川簇f且入是可测的，则胜L:(X，川且 …洲·歹，‘;. 4)若m簇f成M且f是可测的，则f‘L:(X，，，、且 m“X蕊J fd“(M“X· X 在“X=十二且X=日孔，X。，料X。<十‘情形下，厅bogue积分定义为恤。_。J‘Jd拼，只要此极限对任何满足拜E。<的，E。C=E。+、，U孔、E。“X的序列E。存在且有限.此时上述性质1)，2)，3)保持正确，但性质4)不真. 关于玩比g姐积分号下取极限过程，见1沈七es脾定理(玫比g犯theo获江n). 若A为X中可测集(measulableset)，则玩沈-sgue积分J月fd。或者由换x为A像上面那样定义，或者定义为丁，了x月d。，这里，月为集A的特征函数;两个定义是等价的.若f6L.(A，拜)，则对任何可测集A!CA，有f6LI(A.，拜).若A=日篡tA。，月.对每个。，A。可测，对”笋k，4。门A*一办且/任Ll(A，尸)，则 丁f“，一。暑，丁f、。· X A. 反之，若在关于A。的上述条件下对每个n有f〔L，〔A。，。)，且艺篡、L .If!d。<+二，则f‘L、(A，。)且上述等式成立(玫比g优积分的叮可加性). 由F(A)一丁，fd;确定的集A CX的函数是关于拜绝对连续的(见绝对连续性(a比olute con石n山ty));若f)o，则F为关于拼绝对连续的非负测度.其逆为Ra山用一N如项油定理(Radon一N永ed灿山即肥m). 关于函数f:R”~Rl，如果测度拼是I州比s脾测度(此比s多粗瓦￡朋妞弋)，那么“玫b戈gue积分”一词可应用于相应的泛函;这里，可和函数集简记为L，(R·)，而积分则记为丁R了(二)d:.对其他测度，此泛函称为1劝吨送一Sdel扣积分(玫比胖一Stiel勺巴integul). 若.f:[a，b]一R，，f任L:[a，b]且x:I:，刀]一【a，b1为非减绝对连续函数，则 b六 丁f(x)、x一丁f(x(‘))x“亡，d亡· 若f:[a，bl~R‘，f任L:[a，bJ且g:[a，bJ一R’为[a，b]上单调的，则fg 6 Lt[a，b]且存在点省钊“，川使i，(·)。(·)己二一。(。)i，(二)过二+。(。。if(二)、二 ““七成立(第二中值定理(s二朋d rn已In一词ue theorenl)). H.玩比胖于1蚁年给出关于XCR’与拼为此比gUe测度的积分的定义.他曾构造简单函数列，在有限测度集E上几乎处处一致逼近可测非负函数f:E~R’，并证明逼近f的那些简单函数列的积分的公共极限的存在性(有限或无穷).玩比gue积分是积分概念的各种推广的基础.正如H .H.脚-，阳指出(【21)，称为绝对可积性的性质2)将f:R’~R’的此比gue积分与所有其他广义积分区别开来.【补注】关于积分概念的其他推广，见A积分(A·illte脚1);玫叻.省积分(BOchner ini咫户1);E泊七积分(B幻ksinteg习);R滋皿积分(Bur划linteg司);D阴i团积分(Daniell integ司);】为均以仪和(Dar比uxsUIn);D匕咖y积分(众句。y in唤尸1);Ko二。功即.积分(Ko】mo即rov into脚1);hm.积分(R仃。nint-胆户1);R翻切，~S石d娜积分(几仃。n一Stieltjes integral);决杖七积分(氏n后加把脚1);Rad呱积分(Radon integ-司);S翻扣积分(S石el勺esin唤异1):StrJ弓积分〔StIDng int电珍l);w讼盯积分(wiener咖狈il).自然，亦见Rle团日1.1积分(R~如忱脚1).又见二重积分(dollblein匆笋日);反常积分(】mproper integ珍1);R面亩定理(Fub加itl长幻化nl)(关于改变积分次序).

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