补充资料：代数群的秩

代数群的秩
rank of an algebraic group

代数群的秩【.nkof朋映尹朋允，议平;paHr幼碑6P明-叨c幼盆印ynn从1 代数群的一Ca比切子群(Carta们subgroup)的维数(这个维数与〔知铂n子群的选取无关).除了代数群G的秩外还考虑它的半单秩(s恻一s」mPle mllk)和约化秩(reductive rank)，按定义它们分别等于代数群G/R的秩和代数群G/R。的秩，其中R为代数群G的根而R。为它的幂么根(见群的根(n兔diollofa grouP);幂么元(翻甲otente】eIT℃ni)).一个代数群的约化秩等于它的任一极大环面的维数(见极大环面(m妞面a】tonJS)).定义在域k上的线性代数群(lin-姗山罗bmicg力uP)G的约化k秩(阁uCti*k一mnk)(在G为约化群时(见约化群(耐uCti二grouP))称为它的k秩(k一mn玉))是它的一个极大k分裂环面的维数(这一维数与环面的选取无关;见分裂群(sPlitgrouP)).若k上的约化线性代数群G的k秩为零(等于G的秩)，则G称为在k上是非迷向的(an-isotropic).(相应地，分裂的(sPlit))(亦见非迷向群(anisotroPic grouP)). 例.1)所有n阶非奇异上三角方阵组成的代数群不的秩等于它的约化秩，等于川兀的半单秩是零. 2)所有主对角线上全为1的上三角方阵组成的代数群U。的秩等于其维数袱n一l)/2，而其约化秩和半单秩均为零. 3)域k上的一个n维向量空间的恒定二次型(qUadnlticform)厂的所有天自同构组成的代数群O。(k，f)的秩等于【n/2」，而群O。(k，f)的k秩等于型f的Witt指数. 若基域的特征为0，则代数群G的秩等于其Ue代数的秩(花砍of a Lieal罗bra)，都等于所有可能伴随算子Ad:g的特征值几=1的最小重数(对所有的g任G取极小值).若对一元素g〔G，这一重数正好等于代数群G的秩，则g称为正则的〔嗯幽r).G的所有正则元的集合在G上的2泊攻幻拓扑(2滋z乞kitopology)内是开集.

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