1) orthogonal polynomial expansion
正交多项式展开
2) Non-orthogonal polynomial expansion
非正交多项式展开式
3) nonorthogonal polynomials expansion
非正交多项式展式
1.
Random convergent nonorthogonal polynomials expansion is used to express the random buckling eigenvalues and eigenvectors.
算例表明,对于服从多种概率分布的随机结构屈曲特征值问题,当参数变异性较大时,即使只采用前4阶非正交多项式展式,逼近的结果仍然较好。
2.
First, eigenvalues and eigenvectors of structures with random parameters are expressed as nonorthogonal polynomials expansion.
结合非正交多项式展式和传统的摄动技巧研究了随机参数结构的统计特征对问题 ,建立了和摄动法类似的一系列确定的递推方程 ,并用有限元方法进行了求解 ,得到了包括特征值和特征向量的特征对的统计值 。
4) nonorthogonal polynomial expansions
非正交多项式展式
1.
After the coefficients of nonorthogonal polynomial expansions are obtained,statistics of the repeated eigen.
采用随机收敛的非正交多项式展式表示未知的随机重特征值和随机特征向量,建立了和摄动法类似的一系列确定的递推方程,通过求解这些递推方程,得到了重特征值的统计值。
5) polynomial expansion
多项式展开
1.
We compare the Fokker Planck equation with the Vlasov equation in the aspects of the origin, physics meaning, solution, and also introduce the method of polynomial expansion to solve the equation.
比较了Fokker Planck方程和Vlasov方程在来源、意义和解法方面的关联和不同 ,同时介绍了一种多项式展开束团耦合模式来求解Fokker Planck方程的方法 ,并在静态分布中包含了势阱畸变的效
6) polynomial expansion
多项展开式
补充资料：正交多项式
由多项式构成的正交函数系的通称。正交多项式最简单的例子是勒让德多项式,此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。
设ω(x)是定义在区间[α,b]上的非负可积函数，如果它满足条件，则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在［α，b］上的函数 ??（x）与g(x)满足等式 ,则称它们在[α,b]上关于权ω(x)是正交的,并称[α,b]为它们的正交区间。对于给定的区间 [α,b]及其上的权函数ω(x)，从幂函数序列出发，可以构造一列多项式：
(1)使得pn(x)的次数是n，而且其中任意两个多项式在［α,b］上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在［α,b］上关于权ω(x)的正交多项式系，并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 [α,b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。
为了构造(1)，先计算积分,然后记Δ -1=1以及
则就是在［α，b］上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记
则n(x)的首项系数为1，n(x)的首项系数是正的，而且{n(x)}是在[α，b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多，但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),...,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α，b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0，1,...都有如下的递推公式：
(2)式中
假设函数??(x)在［α,b］上关于ω(x)平方可积, 即，则称为??关于的傅里叶系数,为??的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(??,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系，都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性，常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式由此易证:若在点x处有界，而且函数关于权ω（t）平方可积，则Sn(??,x)收敛于??(x)。
常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式
式中α>-1，β>-1，是给定的实数，对于，有 可以算出，此时递推公式(2)中的α＝β的情况比较简单，称作超球多项式。当α＝β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 ??,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式
当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式
这些正交多项式的正交区间都是［-1,1］。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。
如果讨论的是无限区间[0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与，它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式，其表达式是
递推公式是Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程
上述理论完全可能推广为如下形式：设ψ(x)是区间[α,b]上的非减函数,。如果定义在[α,b]上的函数??(x)与g(x)满足等式,则称他们在［α,b］上关于权 ψ(x)正交。这里的积分是勒贝格-斯蒂尔杰斯意义下的积分。为区别上述情况,人们称这时的权函数 ψ(x)为积分权，而将前面的权函数ω(x)称作微分权。由积分权出发建立的正交多项式理论自然要广泛一些。此外，还可建立多元的正交多项式理论。
设ω(x)是定义在区间[α,b]上的非负可积函数，如果它满足条件，则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在［α，b］上的函数 ??（x）与g(x)满足等式 ,则称它们在[α,b]上关于权ω(x)是正交的,并称[α,b]为它们的正交区间。对于给定的区间 [α,b]及其上的权函数ω(x)，从幂函数序列出发，可以构造一列多项式：
(1)使得pn(x)的次数是n，而且其中任意两个多项式在［α,b］上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在［α,b］上关于权ω(x)的正交多项式系，并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 [α,b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。
为了构造(1)，先计算积分,然后记Δ -1=1以及
则就是在［α，b］上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记
则n(x)的首项系数为1，n(x)的首项系数是正的，而且{n(x)}是在[α，b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多，但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),...,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α，b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0，1,...都有如下的递推公式：
(2)式中
假设函数??(x)在［α,b］上关于ω(x)平方可积, 即，则称为??关于的傅里叶系数,为??的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(??,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系，都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性，常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式由此易证:若在点x处有界，而且函数关于权ω（t）平方可积，则Sn(??,x)收敛于??(x)。
常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式
式中α>-1，β>-1，是给定的实数，对于，有 可以算出，此时递推公式(2)中的α＝β的情况比较简单，称作超球多项式。当α＝β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 ??,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式
当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式
这些正交多项式的正交区间都是［-1,1］。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。
如果讨论的是无限区间[0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与，它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式，其表达式是
递推公式是Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程
上述理论完全可能推广为如下形式：设ψ(x)是区间[α,b]上的非减函数,。如果定义在[α,b]上的函数??(x)与g(x)满足等式,则称他们在［α,b］上关于权 ψ(x)正交。这里的积分是勒贝格-斯蒂尔杰斯意义下的积分。为区别上述情况,人们称这时的权函数 ψ(x)为积分权，而将前面的权函数ω(x)称作微分权。由积分权出发建立的正交多项式理论自然要广泛一些。此外，还可建立多元的正交多项式理论。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条