补充资料：求体积公式

求体积公式
cubature formula

　　样的假定，即它们组成平行六面体网格而且极小化专门依赖于该网格的参数.特别地，空间B可以是走T(R”).其中舰>n/2，此时寻求的求体积公式假定为对于所有次数不超过。一1的多项式都是精确的【补注】“第j个结点影响之下的”多项式石(x)(即由‘/恤“))一石，所定义的)亦称(对于纷点沙’的)苹夺La兮 ra::ge(卜。a、101、gr;、r、:卜「!。飞)插值多项式 “脚性质”在西仃文献中还通称为精度阶(degrec试precls‘on)，即当求体积公式具有精J变阶阴时，它具有川性质. 参考文献IA州既是求体积公式的极好的导引，也是一部高等的论著【译注1构造求体积公式的另一类方法是数论网格求积分法(见【Bll)，该方法的研究始于20世纪50年代末，其理论基础是数论中的一致分布论.【B2]中系统地论述了有关求体积公式的理论以及构造公式的代数方法、数论方法、解析方法等多种方法士x:的交点组成.第三组类似地构成，圆周的半径用c表示.规定同一组结点的系数是等同的，并分别以A，B，C表示第一，第二和第三组结点的系数.结点和系数这样的选择保证了单项式川月求体积公式的精确性，其中至少i或j之一为奇数.对于要有7性质的求体积公式，只要它对于l，对，对，x}心，对，对对都是精确的就足够了.这就产生了一个含六个未知数a，b，c，A，B，C的六个方程的非线性方程组.解此方程组，可得到一个具有正系数及结点位于凡中的求体积公式. 设G为使原点保持不动的空间r中的正交变换群O伪)的有限子群.集合O和函数p(x)称为在G之下是不变的，如果g(。)=。且p(g(x》“p(x)对于x任。及任何g任G都成立.形如ga的点的集合通称为包含a的轨道，其中a为R”中的一固定点而g取遍G的所有元素.求体积公式(l)称为在G之下是不变的，如果Q和P(x)在G之下是不变的，并且结点集合为轨道的并集，属同一轨道的结点指派以相同的系数.在G之下不变集合的实例有全空间R”及中心在原点的任何球或球面;如果G为正多面体U到其自身上的变换群，那么U也是不变集合.这样，当Q为R月、球、球面、立方体或任何正多面体，而p(x)为任何在G之下的不变函数(例如川;)，其中;一了环厂下石贾)时，就可论及不变的求体积公式. 定理1.在G之下的不变求体积公式具有m性质，当且仅当它对于所有次数不超过川的、在G之下不变的多项式都是精确的(见「习).待定系数法可定义为构造具有m性质的不变求体积公式的方法.在上面的例中，正方形的对称群可起到群G的作用.定理l在构造不变求体积公式中具有本质的重要性. 对于简单的积分区域，诸如立方体、单纯形、球或球面，以及对于权p(x)=l，可通过反复应用求积公式来构造求体积公式·例如，当。

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