补充资料：Laplace方程

Laplace方程
Laplace equation

U内沈方程【b户此仰颐.;J加I理a冲~服e] 如下形式的齐次偏微分方程 ‘._护“._.扩u_八 △“兰资=于+…+一签共一=0.(l、 一日x幸日x二其中u=二(x)=u(x.，…，x。)是n个实变元的函数.肠p场沈方程的左边称为作用于“的U内理算子(助place。拌份幻r).在E议土d空间R”(n)2)的某个区域D里，助pla戊方程的c，类正则解，即在D里有直到二阶的连续偏导数的解，称为D里的调和函数(加叮的川c允圈浏on).助plaCe方程是二阶椭圆型偏微分方程的主要代表，对解椭圆方程的边值问题，其基本方法已经和仍在发展(见椭圆方程边值问题(加助-由卿明习佣problem，eiliP石c闪叩t10ns)). 令v是D里一个位势向量场(poten往al袋以or反记)，即v=一脚du，其中u二u(xl，…，x。)是位势.因为 △“=div脚d“=一divv，加phce方程的物理意义是，任意这种场的位势在没有源泉的区域D里满足肠ph戊方程，例如，万有引力场的引力位势在没有吸引质量的区域里，静电场的位势在没有电荷的区域里，等等，都满足LaP场羌方程.这样，加plaCe方程表示位势场的守恒定律.从这个观点看，助plaCe方程的形式(l)是选取D匕Cad岛直角坐标系得到的;在其他坐标系，肠p】aCe算子和肠p-laCe方程取不同形式.在这个场存在源泉的地方，(l)的右边是一个同源泉的密度成比例的函数，而U PlaCe方程变成P成，阴I方程(PoisS0neq谬tion).肠ph沈方程也出现在许多其他的，研究稳定场的数学物理间题中，例如稳定温度分布的研究，静弹性理论的问题，等等. 对Up场Ce方程，下述位势论的边值问题是主要的:l)D苗由峨问题(D试chletprobleln)，或者第一边值问题(fnst饰朋da斗喇ue prob】。n)，即寻求一个调和函数，使得它取给定在区域的边界刁D上的连续值;2)N期抽1.问题(Ne切mannprobhtn)，或者第二边值问题(s助nd boUn山叮词碳Problem)，寻求一个调和函数u，使得它的法向导数刁“/日n取给定在日D上的连续值;3)混合问题(m血曰pmb如n)，寻求一个调和函数“使得在边界上满足线性关系 ‘，.、日“(y)_，.、，.、__，.、 “(y)二亏丫二+召(y)u(y)=g(y)， ‘、2产刁n尸“J产一、J产口、J户’ y‘刁D，“(y)笋0. 在n=2的情况下，助pla优方程与单个复变元:=x，十ix:的解析函数论有紧密联系，事实上，解析函数的实部与虚部是共辘调和函数(co句川笋记卜汀.加nic func石。

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