1) Riemann zeta-function
黎曼ζ（S）函数
2) Riemann
黎曼
1.
Similarities and Differences between Newton Integral and Riemann Integral;
牛顿积分与黎曼积分之异同
3) Riemann method
黎曼方法
1.
A rigorous coupled wave theory for the Bragg diffraction of a Gaussian beam in the uniaxial crystal is derived and a group of rigorous coupled wave equations and diffraction efficiency formula are obtained in terms of the proper coordinate transformation and Riemann method.
利用适当的坐标变换和黎曼方法建立了高斯光束在单轴晶体中布拉格衍射的严格的耦合波理论 ,获得了一组严格的耦合波方程和衍射效率计算公式 ,讨论了衍射效率随折射率调制量的关系以及波长选择性和角度选择性 ,同时分析了衍射效率对再现光宽度的要求。
4) Riemann Integral
黎曼积分
1.
The Discrete Definition of "ε-N" of Riemann Integral;
黎曼积分的离散型“ε-N”定义
2.
Advantage of Lebesgue over Riemann integral;
勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性
3.
Teaching of Mathematics Short but Reasonable Reasoning for the Riemann Integral;
关于黎曼积分定义教学的新探索
5) Riemann problem
黎曼解
6) Riemannian geometry
黎曼几何
1.
Based on the Riemannian geometry theory, a novel conformal transformation was proposed and the kernel function was modified by the transformation in a data-dependent way.
以黎曼几何为理论依据,提出了一种新的保角变换,对核函数进行数据依赖性改进,进一步提高分类器泛化能力。
2.
It can be excluded with data dependent way based on Riemannian geometry for improved SVM.
基于黎曼几何的SVM数据依赖性改进方法能够剔除支持向量携带的冗余信息,改进SVM的性能。
3.
Two novel conformal transformations were proposed based on the Riemannian geometry theory and S.
以黎曼几何为理论依据,基于S。
参考词条
补充资料：黎曼ζ函数
复变函数，其中s=σ+it是复数，σ>1。实变数情形的黎曼ζ 函数，L.欧拉早就讨论过。利用算术基本定理可以证明：当σ>1时有恒等式，
(*)式中表对所有的素数求积。这一著名恒等式是L.欧拉提出的。复变数s的函数ζ(s)是（G.F.）B.黎曼于 1859年发表的"论不大于一个给定值的素数个数"著名论文中第一次提出的, 他严格证明了：①ζ(s)可解析开拓到全平面，且满足函数方程；②除了s=1是一个残数为1的一次极点外, ζ(s)在整个平面上是正则的；③当σ>1时, ζ(s)没有零点；④当σ<0时，s=-2，-4，...，-2n,...是它的一级零点，这些零点称为ζ(s)的"无聊零点"。除此之外, ζ(s)没有零点。⑤当0≤σ<1 时, ζ(σ)≠0；⑥ζ(s)可能有的其他零点一定是都位于带形区域0≤σ≤1中的复零点,它们称为"非无聊零点"。此外,他还给出了一些深刻的结果,而为后来的其他人所证明,例如, ⑦在带形区域0≤σ≤1中ζ(s)有无穷多个复零点，于1893年为 J.（-S.）阿达马所证明。⑧设T>0,以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1,0中的零点个数,则有,于1905年为H.von曼格尔德特所证明。⑨建立了ζ(s)的非无聊零点与π(x)（不超过x的素数个数）之间的一个关系式,于1894年为曼格尔德特所证明。这一关系式揭示了素数定理与ζ(s)的非无聊零点的分布有密切关系,指明了研究素数定理的方向。
黎曼还在他的这篇著名论文中提出了一个影响深远的猜测：ζ(s)的所有非无聊零点都位于直线Res＝1/2上，即所谓黎曼假设, 简记作 RH。 1974年N. 莱温松证明了ζ(s)至少有多于1/3的零点位于直线Res=1/2上。 1982年R.P.布伦特等四人证明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1, 0≤t≤81702130.19中的零点，全部位于直线Res=1/2上, 共有200000001个零点,都是一级零点。但是黎曼这个假设还没有被证明或被否定。从黎曼假设可推出一系列重要的数论和函数论方面的结果,虽然都是些假设性的(其中有的在后来被证明),但是这些结果指出了研究ζ(s)零点的重要意义和方向。1896年阿达马和C.dela瓦莱·普桑各自独立证明了ζ(s)在直线σ=1上没有零点,并推出了素数定理。 瓦莱-普桑又于1900年证明了存在一个正常数A1， 使得ζ(s)在区域中没有零点,并得到了有误差项的素数定理。И．M．维诺格拉多夫于1958年证明了存在一个正常数A2，使得对任意的 ε>0，ζ(s)在区域中没有零点,其中A2和ε有关, 并改进了有误差项的素数定理。素数定理的进展是严格按照黎曼所提出的思想、方法和结果而取得的。关于ζ(s)还有下面重要结果。1918年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德证明了。1926年A.E.英厄姆证明了
。
他于1940年又证明了当1/2≤σ<1时，
，式中T≥2，1/2≤α<1, N(α，T)表ζ(s)在矩形 α≤σ<1，│t│≤T中的零点个数（见素数分布）。此结果已被不断改进。通常把这类结果称为零点密度定理。
黎曼首先提出用复变函数论特别是ζ(s)研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。
参考书目
H. M. Edwards,RieMann's Zeta Function,Academic Press, New York, 1974.
华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》,科学出版社，北京，1963。
E.C.Titchmarsh,The Theory of the ReiMann ZetaFunction,Clarendon, Oxford, 1951.
A.lvi婞,The RieMann Zeta-Function,John Wiley & Sons, New York, 1985.
(*)式中表对所有的素数求积。这一著名恒等式是L.欧拉提出的。复变数s的函数ζ(s)是（G.F.）B.黎曼于 1859年发表的"论不大于一个给定值的素数个数"著名论文中第一次提出的, 他严格证明了：①ζ(s)可解析开拓到全平面，且满足函数方程；②除了s=1是一个残数为1的一次极点外, ζ(s)在整个平面上是正则的；③当σ>1时, ζ(s)没有零点；④当σ<0时，s=-2，-4，...，-2n,...是它的一级零点，这些零点称为ζ(s)的"无聊零点"。除此之外, ζ(s)没有零点。⑤当0≤σ<1 时, ζ(σ)≠0；⑥ζ(s)可能有的其他零点一定是都位于带形区域0≤σ≤1中的复零点,它们称为"非无聊零点"。此外,他还给出了一些深刻的结果,而为后来的其他人所证明,例如, ⑦在带形区域0≤σ≤1中ζ(s)有无穷多个复零点，于1893年为 J.（-S.）阿达马所证明。⑧设T>0,以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1,0
黎曼还在他的这篇著名论文中提出了一个影响深远的猜测：ζ(s)的所有非无聊零点都位于直线Res＝1/2上，即所谓黎曼假设, 简记作 RH。 1974年N. 莱温松证明了ζ(s)至少有多于1/3的零点位于直线Res=1/2上。 1982年R.P.布伦特等四人证明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1, 0≤t≤81702130.19中的零点，全部位于直线Res=1/2上, 共有200000001个零点,都是一级零点。但是黎曼这个假设还没有被证明或被否定。从黎曼假设可推出一系列重要的数论和函数论方面的结果,虽然都是些假设性的(其中有的在后来被证明),但是这些结果指出了研究ζ(s)零点的重要意义和方向。1896年阿达马和C.dela瓦莱·普桑各自独立证明了ζ(s)在直线σ=1上没有零点,并推出了素数定理。 瓦莱-普桑又于1900年证明了存在一个正常数A1， 使得ζ(s)在区域中没有零点,并得到了有误差项的素数定理。И．M．维诺格拉多夫于1958年证明了存在一个正常数A2，使得对任意的 ε>0，ζ(s)在区域中没有零点,其中A2和ε有关, 并改进了有误差项的素数定理。素数定理的进展是严格按照黎曼所提出的思想、方法和结果而取得的。关于ζ(s)还有下面重要结果。1918年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德证明了。1926年A.E.英厄姆证明了
。
他于1940年又证明了当1/2≤σ<1时，
，式中T≥2，1/2≤α<1, N(α，T)表ζ(s)在矩形 α≤σ<1，│t│≤T中的零点个数（见素数分布）。此结果已被不断改进。通常把这类结果称为零点密度定理。
黎曼首先提出用复变函数论特别是ζ(s)研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。
参考书目
H. M. Edwards,RieMann's Zeta Function,Academic Press, New York, 1974.
华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》,科学出版社，北京，1963。
E.C.Titchmarsh,The Theory of the ReiMann ZetaFunction,Clarendon, Oxford, 1951.
A.lvi婞,The RieMann Zeta-Function,John Wiley & Sons, New York, 1985.
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