1) elementary Abelian group
初等交换群
2) elementary
初等
1.
Based on the above consideration,and according to the character of some elementary functions and basic algebra inequality,some elementary proof methods on Kantorovich elementary proof methods about Kantorovich inequality are proposed.
Kantorovich不等式在许多学科中有着重要作用,也有好几种表达方式,其证明方法也是多种多样,但有些方法需要较深的数学理论知识,使初学者不易掌握,感到有些困难,据此考虑,提出了一些利用初等函数性质和基本代数不等式的证明方法,并将已有文献中Kantorovich不等式的积分形式作了进一步推广,力求使其更具有应用的广泛性,最后介绍了Kantorovich不等式的应用情况。
3) elementary model
初等模型
1.
Through building the elementary model of Boltzmann distribution of electrostatic dust the author calculates the field-potential distribution of electrostatic dust, discusses the empirical formula of dust concentration in the condition of disruption and verifies the effect of the previous conclusion through the issued experiment report.
通过建立静电粉尘的Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ分布初等模型计算静电粉尘的场势分布，讨论了击穿条件下粉尘浓度的经验公式，并通过已发表的实验报告证实了上述结论的有效性。
4) Elementary transformation
初等变换
1.
Improvement on the elementary transformation method of QR decomposition of matrix;
矩阵QR分解初等变换法的改进
2.
Application of elementary transformation of matrix;
矩阵初等变换的一个应用
3.
Finding bases for sum and intersection of subspaces in Pn using elementary transformations;
利用初等变换求P~n中子空间的和与交的基
5) primary method
初等方法
1.
A primary method and a scientific supposition method are used to present a rigorous mathematical derivation and analysis to the Maxwell distribution of molecular speed.
采用初等方法和科学猜想方法对麦克斯韦速率分布律进行了严格的数学推导分析,并得出了正确的结果。
2.
Some interesting identities of parabola cylindrical functions D-n(z) are obtained by primary method according to the quality of parabola cylindrical functions D-n(z).
本文根据抛物线柱函数的性质,利用初等方法给出了一类关于抛物线柱函数的一组非常有趣的恒等式。
3.
With the adoptation of properties of Laguerre polynomials and the primary method,some calculation formulas for Laguerre Polynomials and Γ Function are obtained.
运用初等方法和Laguerre多项式的性质得到了Laguerre多项式和Γ函数的计算公式。
6) elementary factor
初等因子
参考词条
补充资料：交换群
其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家N.H.阿贝尔在讨论高次方程时曾用到过有限交换群，为了纪念这位著名数学家，而常把交换群称作阿贝尔群。交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具，例如，拓扑学中的基本群、同调群、代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等有密切的联系。
交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素,用-α表示元素α的逆元素,用nα表示α的n次幂,交换群的直积改称为直和。
有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即，其中k是自然数，Gi 是循环群且,pi是素数，ni是自然数，并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。
对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和：其中Gi是循环群且,pi是素数,ni是自然数。而Fj都是无限循环群；且非负数k,s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。
n个（有限个或无限个）无限循环群的直和G，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量,称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群A的一个生成元集，并相应地取符号集{xα,α ∈I}，以xα为生成元可作无限循环群α>，再作它们的直和即得自由群G=嘰α>。G中元素都可惟一写成有限和形式是整数。因此，可作映射
易知，φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和G的子群,也是一些循环群的直和；当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。
每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群,称为准素群或p准素群。
除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G,是指对于任意自然数n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数p及所有自然数n，一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P，它也是除群，并记作p∞型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p∞型群（对某些素数p）的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h（即h本身是除群）,则h必是G的直和项,即有子群K使G=h嘰K。反之，具有如下性质的群h必是除群：若h是群G的子群，则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h，称为G的周期子群,而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群,且有(p取遍所有素数)。因此，周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群,对自然数n规定。易知,pnG是子群,且有。设非零元素α∈G，若有n使得α∈pnG,而G,就把n称为α的高。否则，就说α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：①若G是p准素群且有n使pnG={0},则G是循环群的直和。②若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群，但是它不含高为∞的元素，则G是循环群的直和。
含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数??G(α) (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数α，有??G(α)=??H(α)。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。
对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α1,α2,...,αn有不全是零的整数k1,k2,...,kn,使得,就说α1,α2,...,αn是相关的，否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的，就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数，称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张G是可裂的,即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和，则G是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。
任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算n·g=g+...+g(n个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
参考书目
I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
L.Fuchs,Infinite Abelian Groups，Vol.1～2，Academic Press,New York,1970,1973.
交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素,用-α表示元素α的逆元素,用nα表示α的n次幂,交换群的直积改称为直和。
有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即，其中k是自然数，Gi 是循环群且,pi是素数，ni是自然数，并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。
对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和：其中Gi是循环群且,pi是素数,ni是自然数。而Fj都是无限循环群；且非负数k,s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。
n个（有限个或无限个）无限循环群的直和G，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量,称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群A的一个生成元集，并相应地取符号集{xα,α ∈I}，以xα为生成元可作无限循环群
易知，φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和G的子群,也是一些循环群的直和；当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。
每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群,称为准素群或p准素群。
除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G,是指对于任意自然数n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数p及所有自然数n，一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P，它也是除群，并记作p∞型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p∞型群（对某些素数p）的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h（即h本身是除群）,则h必是G的直和项,即有子群K使G=h嘰K。反之，具有如下性质的群h必是除群：若h是群G的子群，则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h，称为G的周期子群,而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群,且有(p取遍所有素数)。因此，周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群,对自然数n规定。易知,pnG是子群,且有。设非零元素α∈G，若有n使得α∈pnG,而G,就把n称为α的高。否则，就说α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：①若G是p准素群且有n使pnG={0},则G是循环群的直和。②若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群，但是它不含高为∞的元素，则G是循环群的直和。
含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数??G(α) (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数α，有??G(α)=??H(α)。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。
对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α1,α2,...,αn有不全是零的整数k1,k2,...,kn,使得,就说α1,α2,...,αn是相关的，否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的，就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数，称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张G是可裂的,即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和，则G是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。
任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算n·g=g+...+g(n个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
参考书目
I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
L.Fuchs,Infinite Abelian Groups，Vol.1～2，Academic Press,New York,1970,1973.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。