1) initial value problem of ordinary differential equation
常微分方程初值问题
1.
Adding some lower terms in the remainder of orthogonal expansion in an element so that the remainder satisfies more orthogonality conditions in the element, and obtain a desired superclose function to finite element solution, thus several new superconvergence results for the initial value problem of ordinary differential equation are derived.
在单元正交展开的余项中添加若干待定低次项，使此余项在一个单元上满足更多的正交性条件，得到所需的超接近于有限元解的逼近函数，由此对常微分方程初值问题导出了一些新的超收敛结果。
4) The initial value problem for fractional differential equations
分数微分方程初值问题
6) boundary value problem of ordinary differential equation
常微分方程边值问题
1.
It is achieved by transforming the general eigenvalue problem of natural frequency and vibration mode of continuously distributed property system into typical boundary value problem of ordinary differential equation (ODE).
即将计算无限自由度平面杆系结构的自振频率和主振型的广义特征值问题转换为典型的常微分方程边值问题,构造了一系列平凡ODE,建立了相应的常微分方程组,并利用常微分方程求解器COLSYS予以求解。
补充资料：常微分方程初值问题
求常微分方程
(1)满足初值条件
(2)的解的问题。其中,x属于n维欧几里得空间Rn,??是由Rn+1中的开域G到Rn的映射。n=1时,(1)、(2)表示纯量方程；n≥2时，它们表示向量方程。常微分方程初值问题包括以下的问题：初值问题(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在区间有多大；当初值(t0,x0)变化时,解如何变化；当方程(1)的右端函数??添进参数λ，即方程(1)变为时，解同参数λ有何依赖关系；等等。初值问题是A.-L.柯西于19世纪30年代首先提出的,所以又叫柯西问题。在这之前，求解常微分方程是企图求其通解，但能够求出通解的只是一些特殊的方程，而在力学和物理学中出现的大多数方程都无法求出通解。柯西从另一种观点考虑，提出了初值问题，并采用优函数方法，在函数??(t,x)于点(t0,x0)的某个邻域里解析的条件下第一次证明了初值问题 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所谓优函数是指：若??(t,x)、F(t,x)均在点(t0,x0)的某一邻域内解析，设
且满足条件αmn>0,|αmn|<αmn，则F(t, x)称为??(t,x)的优函数，记为??<。此后,又在函数??连续可微的假设下证明了初值问题解的存在性。
为简单起见,以下没有特别指明之处，都是对n=1的情况而言的，但所有结论对一般的n都成立。
解的定义 常微分方程解的定义甚多，不同意义下的解，初值问题的结果不同。最常见的是所谓牛顿解或称经典解。若函数 φ(t)在某个区间I上有定义且连续可微；当t∈I时(t,φ(t))∈G；且在I上满足方程(1)，即：t∈I,则称φ(t)是方程(1)的一个牛顿解或经典解,简称为(1)的解。其他意义下的解是其推广。
解的存在性 初值问题(1)+(2)并非都有解存在。例如，初值问题的解就不存在。甚至有的方程在它右端函数定义域上的任何一点都无解存在。例如方程 其中当x为无理数时??(x)=0,当x为有理数时 ??(x)=1，就是如此。初值问题有解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理:若??(t,x)在矩形域R(│t-t0│≤α│x-x0│≤b)上连续,则初值问题(1)+（2）在区间│t-t0│≤h上至少存在一个解x(t)。在这里,,（图1）。从点(t0,x0)向左右两边作欧拉折线序列{xm(t)}： (3)
(3)由阿斯科利-阿尔泽拉引理（一个在闭区间[α,b]上一致有界且同等连续的无穷函数序列，必可从中选取一个在此区间上一致收敛的子序列）可以证明此序列存在一致收敛的子序列，它于|t-t0|≤h上收敛于初值问题的解，从而可以证明上述存在定理。这个定理也可以用绍德尔不动点定理给以证明。值得指出,上述欧拉折线公式(3)是常微分方程数值解法的基本公式之一。
解的开拓性 柯西－皮亚诺存在定理描述的是解在t0附近的一个区间上的存在性，因而是一个局部性的定理。若 ??（t，x）在某一平面有界区域 G上连续，G 可能很大，这时，可以用如下方法把在小区间上有定义的解开拓到较大的区间上去。适当地选取 α0、b0> 0，作使R0嶅G，则过点（t0,x0）至少有方程（1）的一个解x（t）在区间│t-t0│≤h0上存在。其中 令显然,则又可适当地选取α1b1>0，作R1:使于是可向右边开拓到区间 t1≤t≤t1+h1上(见图2)。如此继续下去，可一直开拓到G的边界嬠G的任何邻近。同样,也可将解 x(t)从点(t0-h0，x(t0-h0))向左边开拓。如此经开拓而得的解称为方程(1)过点(t0,x0)的饱和解。饱和解的定义区间称为解的最大存在区间;它必为开区间。综上所述有开拓定理:设??(t,x)在平面有界开域G上连续,设x(t)为(1)的任一解（或积分曲线）,其最大存在区间为(с,d)，则必有
式中ρ((t,x(t)),嬠G)表示点(t,x(t))到G的边界嬠G的距离。即，只要??在G上连续，则方程(1)过G中任一点的积分曲线必可延至与边界嬠G无限接近。
当G无界时,G上的积分曲线或是开拓到无限接近G的境界线，或者趋向无穷远。但在接近于G的境界线时,可能是振动的。事实上，不管G是有界还是无界，如果将G的无穷远处也理解为其边界，那么方程(1)过G中任一点的积分曲线必可开拓到G的边界。因此,下面的结论总是成立的：
设x(t)的最大存在区间是(α,b),则t→α+或t→b－时有
(4)式中M(t)=(t,x(t))为积分曲线上的点坐标；
解的惟一性 ??(t,x) 的连续性不能保证初值问题(1)+(2)的解惟一。例如方程其右端函数在整个平面R2上定义且连续，但过点(0，0)的解至少有两个：x1(t)=0 和实际上这时有无限个解通过这个点(图3)，形成过点(0,0)的一束解(称其为皮亚诺束)。这是平面情形。对一般的n,若方程(1)在域上过点(t0,x0)的解不惟一,则过此点的积分曲线的全体形成一个漏斗状的集合，称为积分漏斗。
惟一性条件 初值问题解的惟一性条件,最常用的是李普希茨条件。设??(t,x)在R:|t-t0|≤α,│x-x0│≤b上连续,存在常数K 使当时,则说??（t,x）在R上满足李普希茨条件。此外,常见的还有奥斯古德条件:当时。 其中ω(r)在r≥0上非负连续, 还有卡姆克条件:当时。 其中ω(t,r)是 0<α,r≥0上的连续非负函数,对任何α∈(0,α),在0≤t≤α上连续可微的函数 r(t)呏0是满足方程及条件r(0)=妝+(0)=0在区间0≤α上的惟一解。
如果??(t,x)满足这些惟一性条件,则方程(1)只能有一个满足初值条件 (2)的解(惟一性定理)。这个定理可以用比较原理给以证明。在李普希茨条件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {xm(t)}于│t-t0│≤h上一致收敛于此解来证明。这些惟一性条件只保证解的局部惟一性。但只要??在域G中每一点都满足惟一性条件，则方程(1)过G中任一点的饱和解都是惟一的。惟一性的讨论已有一百多年的历史，至今仍有人在研究，并相继提出了许多惟一性条件。
解对初值和参数的相依性 在应用初值问题描述一个物理过程时,由于初值和方程(1)的右端函数通常由实验测定，而小的测量误差可能引起解的很大变化，因此在应用中（如在变分法和最优控制等学科中），就需要考察初值和参数变化时解的变化规律。于是解对初值和参数的依赖关系在理论上和应用上都很重要。
考虑带参数的常微分方程
(1)λ式中(t,x)∈G，G是Rn+1中的开域, λ∈Iλ,Iλ是开区间，??:G×Iλ→Rn。为了表明解对初值和参数的依赖关系,把方程(1)λ满足初值条件(2)的解记为 x=φ( t, t0, x0,λ)；而φ( t0, t0, x0,λ)= x0。
解对初值和参数连续的一般定理 设 ??（t,x,λ）在G×Iλ上连续,关于x满足李普希茨条件,即存在常数K>0，使那么对每个(t0，x0)∈G,λ∈Iλ,存在通过(t0,x0)的 惟一解 x=φ(t,t0,x0,λ),其定义域是R1×G×Iλ中的开集E,在E上φ(t,t0,x0,λ)是连续的。这个定理只表明过点（t0,x0）的解在定义区域内是连续的，但并没有反映当初值和参数变化时解在 t的定义区间上整体的变化情况。下面的定理指出了对某个大范围内的t,解对初值和参数连续是一致的。
解对初值和参数的整体连续性定理 设??(t,x,λ)满足上述定理的条件,又设x＝ψ(t)是方程(1)λ当λ=憳 时的解，其最大存在区间为(с,d)。对任一闭子区间[α,b]嶅（с,d），存在δ>0，使当时,对任意和λ∈(憳-δ,憳+δ)，则方程(1)λ的惟一解φ（t,t0,x0,λ）至少在[α,b]上有定义，且是变量t，t0，x0，λ在区域[α,b]×Uδ×（憳-δ，憳+δ）上的连续函数。并且对任意慪∈[α,b]，当时,φ(t,t0,x0,λ)→ψ(t) 对 t∈[α,b]一致成立。对任意 ε>0，存在δ>0，使当│x0- ψ(t0)|<δ，|λ-憳|<δ时有 |φ(t,t0,x0,λ)-ψ(t)│<ε,t∈[α,b]。
上述两定理中，??（t，x，λ）关于x满足李普希茨条件，目的是保证解的惟一性。事实上，只要初值问题(1)λ+(2)的解是惟一的，那么上面两定理仍然成立。
解对初值和参数的可微性定理 设??（t,x，λ）在G×Iλ内关于(x，λ)连续可微，那么初值问题(1)λ+(2)的解x＝φ(t,t0,x0,λ)作为变量(t,t0,x0,λ)的函数在其定义域内连续可微。和作为t的函数分别满足初值问题和作为t的函数满足矩阵微分方程的初值问题Χ(0)=E。E为n×n单位矩阵。
在上面三个定理中，固定 λ时，就分别得到解对初值的有关依赖性定理。
初值问题的推广 当??(t,x)连续时，就能保证牛顿解的存在性，但在实际应用中出现了??(t,x)为不连续的情形，这类方程已成为现代微分方程理论研究的一个重要课题。前面已有例子表明，??(t,x)不连续时，不一定有牛顿解存在，因此很有必要推广解的概念。到目前为止，已有多种解的推广，下面简述常遇到的卡拉西奥多里解的概念和一个存在性定理。设 φ(t)是区间I上的绝对连续函数，对t∈I上除了一个测度为零的集合外，满足方程则φ(t)称为方程(1)的卡拉西奥多里解或卡氏解。
卡拉西奥多里存在定理 设??(t,x)在G上定义,对每个固定的x关于t可测，对每个固定的t关于x连续；对任一有界闭域D嶅G，存在勒贝格可积函数 m(t)，使得当(t,x)∈D时 |??(t,x)|≤m(t),则方程(1)存在一个满足初值条件(2)的卡氏解。当??(t,x)在G上连续时，卡氏解就归结为牛顿解。
常微分方程初值问题在常微分方程理论的发展中有着重要的作用，在实际应用中也极其重要，在促进某些数学分支的发展中也起了很大的作用。到目前为止，这方面的研究还在进行。
(1)满足初值条件
(2)的解的问题。其中,x属于n维欧几里得空间Rn,??是由Rn+1中的开域G到Rn的映射。n=1时,(1)、(2)表示纯量方程；n≥2时，它们表示向量方程。常微分方程初值问题包括以下的问题：初值问题(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在区间有多大；当初值(t0,x0)变化时,解如何变化；当方程(1)的右端函数??添进参数λ，即方程(1)变为时，解同参数λ有何依赖关系；等等。初值问题是A.-L.柯西于19世纪30年代首先提出的,所以又叫柯西问题。在这之前，求解常微分方程是企图求其通解，但能够求出通解的只是一些特殊的方程，而在力学和物理学中出现的大多数方程都无法求出通解。柯西从另一种观点考虑，提出了初值问题，并采用优函数方法，在函数??(t,x)于点(t0,x0)的某个邻域里解析的条件下第一次证明了初值问题 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所谓优函数是指：若??(t,x)、F(t,x)均在点(t0,x0)的某一邻域内解析，设
且满足条件αmn>0,|αmn|<αmn，则F(t, x)称为??(t,x)的优函数，记为??<
为简单起见,以下没有特别指明之处，都是对n=1的情况而言的，但所有结论对一般的n都成立。
解的定义 常微分方程解的定义甚多，不同意义下的解，初值问题的结果不同。最常见的是所谓牛顿解或称经典解。若函数 φ(t)在某个区间I上有定义且连续可微；当t∈I时(t,φ(t))∈G；且在I上满足方程(1)，即：t∈I,则称φ(t)是方程(1)的一个牛顿解或经典解,简称为(1)的解。其他意义下的解是其推广。
解的存在性 初值问题(1)+(2)并非都有解存在。例如，初值问题的解就不存在。甚至有的方程在它右端函数定义域上的任何一点都无解存在。例如方程 其中当x为无理数时??(x)=0,当x为有理数时 ??(x)=1，就是如此。初值问题有解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理:若??(t,x)在矩形域R(│t-t0│≤α│x-x0│≤b)上连续,则初值问题(1)+（2）在区间│t-t0│≤h上至少存在一个解x(t)。在这里,,（图1）。从点(t0,x0)向左右两边作欧拉折线序列{xm(t)}： (3)
(3)由阿斯科利-阿尔泽拉引理（一个在闭区间[α,b]上一致有界且同等连续的无穷函数序列，必可从中选取一个在此区间上一致收敛的子序列）可以证明此序列存在一致收敛的子序列，它于|t-t0|≤h上收敛于初值问题的解，从而可以证明上述存在定理。这个定理也可以用绍德尔不动点定理给以证明。值得指出,上述欧拉折线公式(3)是常微分方程数值解法的基本公式之一。
解的开拓性 柯西－皮亚诺存在定理描述的是解在t0附近的一个区间上的存在性，因而是一个局部性的定理。若 ??（t，x）在某一平面有界区域 G上连续，G 可能很大，这时，可以用如下方法把在小区间上有定义的解开拓到较大的区间上去。适当地选取 α0、b0> 0，作使R0嶅G，则过点（t0,x0）至少有方程（1）的一个解x（t）在区间│t-t0│≤h0上存在。其中 令显然,则又可适当地选取α1b1>0，作R1:使于是可向右边开拓到区间 t1≤t≤t1+h1上(见图2)。如此继续下去，可一直开拓到G的边界嬠G的任何邻近。同样,也可将解 x(t)从点(t0-h0，x(t0-h0))向左边开拓。如此经开拓而得的解称为方程(1)过点(t0,x0)的饱和解。饱和解的定义区间称为解的最大存在区间;它必为开区间。综上所述有开拓定理:设??(t,x)在平面有界开域G上连续,设x(t)为(1)的任一解（或积分曲线）,其最大存在区间为(с,d)，则必有
式中ρ((t,x(t)),嬠G)表示点(t,x(t))到G的边界嬠G的距离。即，只要??在G上连续，则方程(1)过G中任一点的积分曲线必可延至与边界嬠G无限接近。
当G无界时,G上的积分曲线或是开拓到无限接近G的境界线，或者趋向无穷远。但在接近于G的境界线时,可能是振动的。事实上，不管G是有界还是无界，如果将G的无穷远处也理解为其边界，那么方程(1)过G中任一点的积分曲线必可开拓到G的边界。因此,下面的结论总是成立的：
设x(t)的最大存在区间是(α,b),则t→α+或t→b－时有
(4)式中M(t)=(t,x(t))为积分曲线上的点坐标；
解的惟一性 ??(t,x) 的连续性不能保证初值问题(1)+(2)的解惟一。例如方程其右端函数在整个平面R2上定义且连续，但过点(0，0)的解至少有两个：x1(t)=0 和实际上这时有无限个解通过这个点(图3)，形成过点(0,0)的一束解(称其为皮亚诺束)。这是平面情形。对一般的n,若方程(1)在域上过点(t0,x0)的解不惟一,则过此点的积分曲线的全体形成一个漏斗状的集合，称为积分漏斗。
惟一性条件 初值问题解的惟一性条件,最常用的是李普希茨条件。设??(t,x)在R:|t-t0|≤α,│x-x0│≤b上连续,存在常数K 使当时,则说??（t,x）在R上满足李普希茨条件。此外,常见的还有奥斯古德条件:当时。 其中ω(r)在r≥0上非负连续, 还有卡姆克条件:当时。 其中ω(t,r)是 0
如果??(t,x)满足这些惟一性条件,则方程(1)只能有一个满足初值条件 (2)的解(惟一性定理)。这个定理可以用比较原理给以证明。在李普希茨条件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {xm(t)}于│t-t0│≤h上一致收敛于此解来证明。这些惟一性条件只保证解的局部惟一性。但只要??在域G中每一点都满足惟一性条件，则方程(1)过G中任一点的饱和解都是惟一的。惟一性的讨论已有一百多年的历史，至今仍有人在研究，并相继提出了许多惟一性条件。
解对初值和参数的相依性 在应用初值问题描述一个物理过程时,由于初值和方程(1)的右端函数通常由实验测定，而小的测量误差可能引起解的很大变化，因此在应用中（如在变分法和最优控制等学科中），就需要考察初值和参数变化时解的变化规律。于是解对初值和参数的依赖关系在理论上和应用上都很重要。
考虑带参数的常微分方程
(1)λ式中(t,x)∈G，G是Rn+1中的开域, λ∈Iλ,Iλ是开区间，??:G×Iλ→Rn。为了表明解对初值和参数的依赖关系,把方程(1)λ满足初值条件(2)的解记为 x=φ( t, t0, x0,λ)；而φ( t0, t0, x0,λ)= x0。
解对初值和参数连续的一般定理 设 ??（t,x,λ）在G×Iλ上连续,关于x满足李普希茨条件,即存在常数K>0，使那么对每个(t0，x0)∈G,λ∈Iλ,存在通过(t0,x0)的 惟一解 x=φ(t,t0,x0,λ),其定义域是R1×G×Iλ中的开集E,在E上φ(t,t0,x0,λ)是连续的。这个定理只表明过点（t0,x0）的解在定义区域内是连续的，但并没有反映当初值和参数变化时解在 t的定义区间上整体的变化情况。下面的定理指出了对某个大范围内的t,解对初值和参数连续是一致的。
解对初值和参数的整体连续性定理 设??(t,x,λ)满足上述定理的条件,又设x＝ψ(t)是方程(1)λ当λ=憳 时的解，其最大存在区间为(с,d)。对任一闭子区间[α,b]嶅（с,d），存在δ>0，使当时,对任意和λ∈(憳-δ,憳+δ)，则方程(1)λ的惟一解φ（t,t0,x0,λ）至少在[α,b]上有定义，且是变量t，t0，x0，λ在区域[α,b]×Uδ×（憳-δ，憳+δ）上的连续函数。并且对任意慪∈[α,b]，当时,φ(t,t0,x0,λ)→ψ(t) 对 t∈[α,b]一致成立。对任意 ε>0，存在δ>0，使当│x0- ψ(t0)|<δ，|λ-憳|<δ时有 |φ(t,t0,x0,λ)-ψ(t)│<ε,t∈[α,b]。
上述两定理中，??（t，x，λ）关于x满足李普希茨条件，目的是保证解的惟一性。事实上，只要初值问题(1)λ+(2)的解是惟一的，那么上面两定理仍然成立。
解对初值和参数的可微性定理 设??（t,x，λ）在G×Iλ内关于(x，λ)连续可微，那么初值问题(1)λ+(2)的解x＝φ(t,t0,x0,λ)作为变量(t,t0,x0,λ)的函数在其定义域内连续可微。和作为t的函数分别满足初值问题和作为t的函数满足矩阵微分方程的初值问题Χ(0)=E。E为n×n单位矩阵。
在上面三个定理中，固定 λ时，就分别得到解对初值的有关依赖性定理。
初值问题的推广 当??(t,x)连续时，就能保证牛顿解的存在性，但在实际应用中出现了??(t,x)为不连续的情形，这类方程已成为现代微分方程理论研究的一个重要课题。前面已有例子表明，??(t,x)不连续时，不一定有牛顿解存在，因此很有必要推广解的概念。到目前为止，已有多种解的推广，下面简述常遇到的卡拉西奥多里解的概念和一个存在性定理。设 φ(t)是区间I上的绝对连续函数，对t∈I上除了一个测度为零的集合外，满足方程则φ(t)称为方程(1)的卡拉西奥多里解或卡氏解。
卡拉西奥多里存在定理 设??(t,x)在G上定义,对每个固定的x关于t可测，对每个固定的t关于x连续；对任一有界闭域D嶅G，存在勒贝格可积函数 m(t)，使得当(t,x)∈D时 |??(t,x)|≤m(t),则方程(1)存在一个满足初值条件(2)的卡氏解。当??(t,x)在G上连续时，卡氏解就归结为牛顿解。
常微分方程初值问题在常微分方程理论的发展中有着重要的作用，在实际应用中也极其重要，在促进某些数学分支的发展中也起了很大的作用。到目前为止，这方面的研究还在进行。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条