补充资料：偏微分方程边值问题

偏微分方程边值问题
oundary value problem, partial differential equations

的，且解连续地依赖于问题的数据.不同类型的微分方程要求不同的适定边值问题;反之，适定边值间题有时可以作为微分方程分类的基础. 边值间题称为线性的(li near)，如果算子L和B都是线性的;称为齐次的(homogeneous)，如果(l)，(2)中的f和毋都等于零.线性边值问题称为Nocther型的(Noetherian)，如果a)齐次问题有有限数k个线性无关解;b)非齐次问题可解，当且仅当f和价满足l个线性无关的正交性条件;c)在问题是唯一可解的条件一F，解连续地依赖于f和切. 如果k=l，那么l可题称作Fredholm问题(Fredholmproblem).差k一l定义j’Ibl题的指数(index). 一阶线性偏微分方程 么子“.合，_a“ 毛U二》法，《X)—十》办，贾久)—汁一以X山三 厂。’。戈。x下口戈 ./丈*)〔3)的广泛的一类边值问题是Poin以r‘问题(P oincar亡Prob-tem).在这类问题中边界条件给在整个边界上，这个边界假定为(。一l)维流形，而(2)中边界算子B则有形式 合d“ 、Bu)(、，)二艺刀(、)半、尸咬、，)u沪咬、)二、任S(4) 丫‘、’叭 在算子L是一致椭圆型的情形，在具有充分光滑边界的有界域D中的Poincar己问题已详细研究过. 假设(3)、(4)中算子L和B的系数充分光滑，且D的边界充分光滑，于是当。二2.艺对>o时Poinor已问题是Nocther型的;当。>2，艺对>o，且向量户印，，一，几)不切于S时是价edhofm型的.二维情形的Poin以re问题的研究广泛应用了复变函数理论方法(见边值问题，复变方法(boundary value problem，complex-variable methods)). 一般的Zm阶椭圆型方程 L。一丫。J*卜旦止业、八、、.二。D(5l 一住‘绝加:OX’-的边界条件可以用系数定义在D的边界S上的川了<2爪阶的线性微分算一子 ~·d““_鱿“二一_洛_标‘。认子一以八.随“，，簇一，蕊脚 吸6)给出.这里。一(，J一汽)、气是非负整数，}，!一艺只、久，以及 副“}己川 似“叙丫’·a众如果算子L和B，满足所谓的互补性条件，那么满足边界条件的函数u的Zm阶导数(的适当范数)可以用(5)中.厂的范数和(6)中诸边界函数叭的适当范数来估计.这类边值问题称作强制的其他类型的边值问题有混合问题(mixed prob-lem)，即在邻接的边界部分上给出不同的边界条件. D土_致椭圆型的微分方程的边值间题的特点是边界条件给出在整个边界上.如果(3)中算一子L在区域内部是椭圆型的，在部分边界S。里S上是抛物地退化的，那么，依赖于退化的类型，部分边界凡可以从边界条件给值中排除.也见椭圆型方程边值问题(b。盯daryvalue Problem，elliPtle equations) 如果方程(3)不是椭圆型的，那么边界的一部分通常可以从边界条件的给值中排除.例如，对最简单的抛物型方程—热传导方程 aZ“a“ L“二J上一二~一任井二0、 一OxZ ar在由直线x=士1，t=土1所围的区域D中的I)irichlct问题相当于u的边界值给出在区间;t二一1，一1簇x簇士1}和{x二士1，一!簇t蕊1}上. 椭圆一双曲混合型的边值问题是用特殊形式来表示的. 边值问题在解析函数理论中占有重要的位置.令S是平面土一逐段光滑曲线，即有限个简单定向弧的并集.线性共扼lbJ题(linear conju即tion problem)是确定一函数州:)，在S外部解析，从S的两边得到的极限值为旷(t)(t〔s)，且满足边界条件 价，(r)一G(l)势(z)=夕(t)，I任‘，其中G(t)和夕(t)是已知函数.可以在关于函数G.g和曲线S的某些假定下，利用Cauchy型积分表示的解析函数，将这问题的解表示成显式.见解析函数论的边值问题(boundary value Problem of analytie functiontheory). 研究边值问题可以用各种方法.5山w明交替法(Schwarz alternating method)，‘万其相关的Poixz以re扫除法(balaya罗meth叱)和Pe~法(Perron me-t址对)都基于最大值原理的应用.利用积分方程的解法是基于解的各种积分表示.利用先验估计研究边值问题属于泛函方法.分布理论被广泛应用.在实际应用中广泛应用各种有限差分方法.【补注】下面给出一些有用的补充参考文献.偏微分方程边值问题!加扣.山叮祖uep叻lem，pa币习山价花丽目equa柱姗;叼旧...，V，，.J习.yp妞.阳权c，犯1~.皿曰曰的月.曰M.」 在变量x=(x:，…，x。)的域D中确定方程 (LuXx)=f(x)，x任D，(l)的解u(x)的问题，解在这域的边界S(或它的部分边界)上满足某个边界条件(boundary conditions) (Bu冷)二价(y)，少。5.(2)通常，边界条件与解及其到某一阶的导数的边界值有关，即B是微分算子.然而也还出现其他类型的边界条件. 对已给的一个微分方程应该研究的是哪一类具体的边值问题，通常用适定性的概念来确定.也就是说，一个边值问题是适定的，如果它是可解的，解是唯一

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