1) boundary value problems for differential equation
微分方程边值问题
1.
The purpose of this paper is to discuss two classes of nonlinear problems, one of which is nonlinear operator equations and the other is some applications of nonlinear operator theory to boundary value problems for differential equations.
在本文中,我们主要讨论两类非线性方面的内容,其一为Banach空间中的非线性算子方程,其二为非线性算子理论在微分方程边值问题中的应用。
2) boundary value problems of system of partial differential equations
偏微分方程组边值问题
3) boundary value problem of ordinary differential equation
常微分方程边值问题
1.
It is achieved by transforming the general eigenvalue problem of natural frequency and vibration mode of continuously distributed property system into typical boundary value problem of ordinary differential equation (ODE).
即将计算无限自由度平面杆系结构的自振频率和主振型的广义特征值问题转换为典型的常微分方程边值问题,构造了一系列平凡ODE,建立了相应的常微分方程组,并利用常微分方程求解器COLSYS予以求解。
6) finite difference method for boundary value problem of partial differential equation
偏微分方程边值问题差分方法
补充资料：常微分方程边值问题
求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即，设常微分方程为对区间I上的点α1，α2，...,αk及值y(αi)，y┡(αi),...,y(n-1)(αi)(i=1,2,...,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的问题。这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、...、y(n-1)(αi) 称为边值或边界值。当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。
在有限区间上的边值问题 两点边值问题 以二阶常微分方程为例。求二阶常微分方程 (1)满足边界条件的解。式中α、b为区间的端点,??:[α,b]×R2→R是连续函数，R＝(-,)；αs,α▂,βs,β▂及γs(s=1,2)是给定的常数。特别当γs=0 (s=1，2)时，(2)称为齐次边界条件。(2)的特例有：方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
例如,悬链线（图1）之形状是由第一边值问题 所确定。式中ρ为悬链线密度，g为重力加速度，T 为悬链线最低点张力。又如，一端固定的细长悬梁（图 2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-Pcosφ (s) = 0， φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定。其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载。
关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程，在理论上是容易解决的。考虑第一边值问题 (3)与(2┡)，其中p、q及r是[α,b]上的连续函数,设⑶的通解 (4)式中y1、y2是(3)对应的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c1、c2是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c1、c2。易知,当且仅当y1(α)y2(b)-y1(b)y2(α)≠0时,才可确定惟一的一组с1、c2,代入(4)便得所求的解。然而,对非线性方程,上述途径是行不通的。例如，边值问题(1)与(2┡)，（1）满足y(α)=γ1的解有无穷多个，它们依赖于 y┡(α)=δ不同的取值。但是在这些解中不一定存在满足y（b）=γ2的解。为了保证存在这样的δ，使有解满足 y(b)=γ2，就必须对(1)加适当的限制,即要建立解的存在条件。一个简单的存在条件是："若??为连续有界函数，则边值问题(1)与(2┡)存在解。"为保证边值问题最多有一个解，还必须建立解的惟一性条件。关于边值问题解的存在和惟一性问题的研究，在20世纪出现了大量文献，至今仍不断发表新的研究成果。并且将此问题扩展到泛函微分方程和抽象空间微分方程。研究此问题所采用的方法也是多样的。最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以来发展且采用上、下解方法，瓦热维斯基拓扑方法，李亚普诺夫函数法等。拓扑度理论中不动点定理的发展，也给近代研究提供了重要工具。
多点边值问题 G.桑索内等早在30年代就提出多点边值问题，但工作很少。60年代以来才被人们重视，并且出现较多的文献，其中多数是研究以下三点边值问题解的存在和惟一性问题：
多点边值问题的论题、结果及研究方法，多是来自两点边值问题的拓广。
在无穷区间上的边值问题 在[0,)上的边值问题即求方程(1)满足边界条件 (5)
(6)
的解。也称极限边值问题。(1)中的??:[0,)×R2→R是连续函数；α、β、γ、δ 是给定的常数。关于此类边值问题解的存在和惟一性问题的研究，开始于核物理中的托马斯-费密方程。随之，对较广泛类型的方程(1)及边界条件y(0)＝γ，y()=0的边值问题进行了探讨。在流体力学中提出边值问题(1)与y┡(α)＝γ(α>0)，y()=0。60年代以来进行了较一般性的研究，得到较深刻的结果。解决此类边值问题的一般步骤是：首先指出(1)与(5)存在有界解；然后证明此有界解满足(6)。此外,在流体力学边界层理论中还提出三阶方程的边值问题
式中α、β、λ为常数,0≤β<1,要求证明解的存在和惟一性及建立解的渐近式。这类问题，40年代以来引起了不少学者的兴趣，最近开始研究它的推广形式。在[0,)上的边值问题的研究方法类同于两点边值问题的方法。
在(－∞,∞)上的边值问题 即求方程(1)满足边界条件或 的解。(1)中的??:R3→R是连续函数;γ+为两个给定的常数。此类边值问题出现在波动力学、火焰传布理论等。F.H.默里最先对线性方程给出解的存在惟一性的充分条件。对非线性方程，50年代以来也得到了一系列的充分条件。在空气动力学中还提出了三阶方程在(-,)上的边值问题。所采用的研究方法多是分析法。如：迭代方法和上、下解方法等。此类问题尚有待于进一步深入研究。
特征值问题 一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中，有一系列应用，是量子力学的主要支柱。
最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)
式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。
对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ0<λ1<λ2<...,对应于每一个λn,有一个非零解yn(x)（特征函数）。{yn(x)}组成(α，b)上的完备正交系。对任意函数??(x)，有特征展开式
(10)式中??n是??(x)的广义傅里叶系数, 等于??(x)与yn(x)的乘积沿(α,b)的积分。当??(x)满足边界条件,且??┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。当??(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。
C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)(x),则在y″+g(x)y=0的任一解的相邻两零点间,必有z″+G(x)z=0的任一解的一个零点。由此证明SL问题的第n+1个特征函数yn(x)在(α,b)中恰有n个零点（振动定理）。比较定理与解的振动性质的研究，近年已被推广到偏微分方程。
当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一个不是有界连续时，称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。按照 H.外尔的理论，若对某复数λ，微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款；否则称b属于点款。对前者，在b点要提线性边界条件，对于后者,只提平方可积条件就够了。若α点为奇点,也有同样的分类。当区间仅有一端（例如b）为奇点，特征展开式为 (11)式中
(12)φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形，展开式为 (13) (14)式中[ρij(λ)]称为谱矩阵；φ1，φ2则是方程的线性无关解组。
奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。
SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。
特征值反问题属于另一种格局。在奇异情形有谱函数反问题与散射反问题，这里要求从各种谱数据或散射数据出发，求微分方程的系数，自50年代И.M.盖尔范德和Б.М.列维坦等人的开创工作以来,近年来又有一系列的研究。
1967年，C.S.伽德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡尔和R.M.缪雷等四人发现,当薛定谔方程的位势系数按KdV方程（浅水波方程）演化时，特征值保持不变，其他散射量以非常简单的规律演化。以此为突破点，利用特征值反问题的成果，发展出一种所谓散射反演方法，简称IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精确地求出一批非线性偏微分方程的孤立子解。这些方程包括在近代技术中有广泛应用的KdV方程,非线性薛定谔方程，正弦-戈登方程，布森内斯克方程,等等，成为数学物理中引人注目的进展之一。
在有限区间上的边值问题 两点边值问题 以二阶常微分方程为例。求二阶常微分方程 (1)满足边界条件的解。式中α、b为区间的端点,??:[α,b]×R2→R是连续函数，R＝(-,)；αs,α▂,βs,β▂及γs(s=1,2)是给定的常数。特别当γs=0 (s=1，2)时，(2)称为齐次边界条件。(2)的特例有：方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
例如,悬链线（图1）之形状是由第一边值问题 所确定。式中ρ为悬链线密度，g为重力加速度，T 为悬链线最低点张力。又如，一端固定的细长悬梁（图 2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-Pcosφ (s) = 0， φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定。其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载。
关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程，在理论上是容易解决的。考虑第一边值问题 (3)与(2┡)，其中p、q及r是[α,b]上的连续函数,设⑶的通解 (4)式中y1、y2是(3)对应的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c1、c2是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c1、c2。易知,当且仅当y1(α)y2(b)-y1(b)y2(α)≠0时,才可确定惟一的一组с1、c2,代入(4)便得所求的解。然而,对非线性方程,上述途径是行不通的。例如，边值问题(1)与(2┡)，（1）满足y(α)=γ1的解有无穷多个，它们依赖于 y┡(α)=δ不同的取值。但是在这些解中不一定存在满足y（b）=γ2的解。为了保证存在这样的δ，使有解满足 y(b)=γ2，就必须对(1)加适当的限制,即要建立解的存在条件。一个简单的存在条件是："若??为连续有界函数，则边值问题(1)与(2┡)存在解。"为保证边值问题最多有一个解，还必须建立解的惟一性条件。关于边值问题解的存在和惟一性问题的研究，在20世纪出现了大量文献，至今仍不断发表新的研究成果。并且将此问题扩展到泛函微分方程和抽象空间微分方程。研究此问题所采用的方法也是多样的。最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以来发展且采用上、下解方法，瓦热维斯基拓扑方法，李亚普诺夫函数法等。拓扑度理论中不动点定理的发展，也给近代研究提供了重要工具。
多点边值问题 G.桑索内等早在30年代就提出多点边值问题，但工作很少。60年代以来才被人们重视，并且出现较多的文献，其中多数是研究以下三点边值问题解的存在和惟一性问题：
多点边值问题的论题、结果及研究方法，多是来自两点边值问题的拓广。
在无穷区间上的边值问题 在[0,)上的边值问题即求方程(1)满足边界条件 (5)
(6)
的解。也称极限边值问题。(1)中的??:[0,)×R2→R是连续函数；α、β、γ、δ 是给定的常数。关于此类边值问题解的存在和惟一性问题的研究，开始于核物理中的托马斯-费密方程。随之，对较广泛类型的方程(1)及边界条件y(0)＝γ，y()=0的边值问题进行了探讨。在流体力学中提出边值问题(1)与y┡(α)＝γ(α>0)，y()=0。60年代以来进行了较一般性的研究，得到较深刻的结果。解决此类边值问题的一般步骤是：首先指出(1)与(5)存在有界解；然后证明此有界解满足(6)。此外,在流体力学边界层理论中还提出三阶方程的边值问题
式中α、β、λ为常数,0≤β<1,要求证明解的存在和惟一性及建立解的渐近式。这类问题，40年代以来引起了不少学者的兴趣，最近开始研究它的推广形式。在[0,)上的边值问题的研究方法类同于两点边值问题的方法。
在(－∞,∞)上的边值问题 即求方程(1)满足边界条件或 的解。(1)中的??:R3→R是连续函数;γ+为两个给定的常数。此类边值问题出现在波动力学、火焰传布理论等。F.H.默里最先对线性方程给出解的存在惟一性的充分条件。对非线性方程，50年代以来也得到了一系列的充分条件。在空气动力学中还提出了三阶方程在(-,)上的边值问题。所采用的研究方法多是分析法。如：迭代方法和上、下解方法等。此类问题尚有待于进一步深入研究。
特征值问题 一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。特征值问题在声学、光学、电磁理论、弹性力学、材料力学、流体力学和核物理等学科中，有一系列应用，是量子力学的主要支柱。
最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)
式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。
对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ0<λ1<λ2<...,对应于每一个λn,有一个非零解yn(x)（特征函数）。{yn(x)}组成(α，b)上的完备正交系。对任意函数??(x)，有特征展开式
(10)式中??n是??(x)的广义傅里叶系数, 等于??(x)与yn(x)的乘积沿(α,b)的积分。当??(x)满足边界条件,且??┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。当??(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。
C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)
当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一个不是有界连续时，称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。按照 H.外尔的理论，若对某复数λ，微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款；否则称b属于点款。对前者，在b点要提线性边界条件，对于后者,只提平方可积条件就够了。若α点为奇点,也有同样的分类。当区间仅有一端（例如b）为奇点，特征展开式为 (11)式中
(12)φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形，展开式为 (13) (14)式中[ρij(λ)]称为谱矩阵；φ1，φ2则是方程的线性无关解组。
奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。
SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。
特征值反问题属于另一种格局。在奇异情形有谱函数反问题与散射反问题，这里要求从各种谱数据或散射数据出发，求微分方程的系数，自50年代И.M.盖尔范德和Б.М.列维坦等人的开创工作以来,近年来又有一系列的研究。
1967年，C.S.伽德纳、J.M.格林、M.D.克鲁斯卡尔和R.M.缪雷等四人发现,当薛定谔方程的位势系数按KdV方程（浅水波方程）演化时，特征值保持不变，其他散射量以非常简单的规律演化。以此为突破点，利用特征值反问题的成果，发展出一种所谓散射反演方法，简称IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精确地求出一批非线性偏微分方程的孤立子解。这些方程包括在近代技术中有广泛应用的KdV方程,非线性薛定谔方程，正弦-戈登方程，布森内斯克方程,等等，成为数学物理中引人注目的进展之一。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条