补充资料：流形上的联络

流形上的联络
connections on a manifold

联络(connection)的补注.流形上的联络Iconne比此.a m.吐创d;c.皿川舰Tlt粉M”o‘”浦pa3.” 光滑流形(n lanifol山M土的微分一几何结构(di阮f-ential一罗ometrietructure)，‘它们是底流形M一i几标准丝1维为与M维数相同的齐性空间G/H的光滑纤维丛E上的联络(connection).根据选取的齐性空间，可以得到M上的如仿射联络(affine connection)，射影联络(Projective①nnection)，共形联络(confonnal①nnee-tion)等.流形上联络的一般概念是由E.Cartan“1」)引入的，他将一个其!.定义了联络的流形M称为一个“具有基本群的非和乐乞间”. 流形M上联络的现代定义是以底流形MI_光滑纤维丛的概念为基础的，设F=〔别H是维数与M相同的一个齐性空间fhomo罗neous印ace)(例如，仿射空间，射影空间等等)设P;E，M是有标准纤维F的一个光滑局部平凡纤维化，并假定在这个纤维化中固定一个光滑截面5.即个光滑映射s:对，E使得对每个x〔M有P(s扛))==、最后这个条件保证s是M到以M)上的微分同胚，因而，如果需要可将M和s(M)等同起来.换一言之，对每一汽、任M，都附着维数与M相同的齐性空间F的一个拷贝只(即p:E一M在二上的纤维)只上有一固定点、(、j能等同于点x. 流形上的联络是更一般联络概念的特殊情形几它可以像一「面那样单独定义，假定对流形M上每一条分段光滑曲线乙卜「，，二，)曲线端点处切齐性空间之间有一个同构rL:F，，F(例如，如果1;’是一个仿射空间或射影空间，那么I一L分别是一个仿射映射或射影映射).此外，假定: 1)对L价，、.)厂(;l，二2)，毛一，(、，孔)和L刀以)，、2)，有rL’一(rL)’月(LL‘)一(「L)(IL‘); 2)对每个点丫任M和每个切向量戈任大(M)，}司构rL，:凡一Fx当t，o时趋向恒等同构，并一且它与后者的偏差的主部仅依赖行、和X，这种依赖关系是光滑的，这里仁表示在L以X为切向量的参数表示尔!01] ，以、.、:)一下!氏川的象 在这种情形、就说在M上已经定义了一个F型的联络f;同构rL称为沿L的平行移动(P盯alleldi印lacemcnt)对匆条曲线L仁，;1)6材，定义它的奄娜线(evolute)为式中的一条曲线，由z的点x，在沿L，平行移动之下的象组成.从2)得到:在饭x有公共切向量X的曲线的渐屈线有公共切向量YY光滑依赖于关和X.由此推出对每点一、都有一个映射 五:I;(M)一*7几「*，(子，). 流形上研究的最多的联络是线性联络，具有如下附加性质: 3)关于某个标架场，结构群G的Lie代数g中定义同构rL，当t，O时与恒等同构的偏差主部的龙。

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