1) Riemann's Zeta-function
黎曼Zeta函数
2) riemann function
黎曼函数
1.
Properties of Riemann function and their proved;
黎曼函数的性质及其证明
3) Riemann ξ function
黎曼ξ-函数
4) Riemann zeta function
黎曼ζ函数
5) Zeta function
Zeta函数
1.
Zeta functions of digraphs were introduced by Mizuno and Sato(Linear Algebra Appl.
Mizuno和Sato定义了有向图的Zeta函数(见Linear Algebra Appl。
2.
In this paper, we study the special Witt extension tower of a function field and the computation of it s zeta function.
本篇文章主要研究了函数域上一类特殊的Witt扩张的Zeta函数计算问题。
3.
We consider the element discussion of Ihara-type zeta function and their generalization for finite,possibly irregular graphs.
我们给出两种定义;第一种较简单,对选定的闭路又规定了一个等价类,把诸如ay_1y_2y_3与y_1y_2y_3a这两条闭路看作一个等价类,即ay_1y_2y_3～y_1Y_2Y_3a,这时Zeta函数是一个有理函数;第二种定义是Ihara zeta函数的直接推广,Ihara zeta函数是它的特例,然后给出一些Zeta函数的具体实例。
6) Riemann zeta-function
Riemann zeta-函数
1.
On the Smarandache function and the Riemann zeta-function;
关于Smarandache函数与Riemann zeta-函数
补充资料：黎曼ζ函数
复变函数，其中s=σ+it是复数，σ>1。实变数情形的黎曼ζ 函数，L.欧拉早就讨论过。利用算术基本定理可以证明：当σ>1时有恒等式，
(*)式中表对所有的素数求积。这一著名恒等式是L.欧拉提出的。复变数s的函数ζ(s)是（G.F.）B.黎曼于 1859年发表的"论不大于一个给定值的素数个数"著名论文中第一次提出的, 他严格证明了：①ζ(s)可解析开拓到全平面，且满足函数方程；②除了s=1是一个残数为1的一次极点外, ζ(s)在整个平面上是正则的；③当σ>1时, ζ(s)没有零点；④当σ<0时，s=-2，-4，...，-2n,...是它的一级零点，这些零点称为ζ(s)的"无聊零点"。除此之外, ζ(s)没有零点。⑤当0≤σ<1 时, ζ(σ)≠0；⑥ζ(s)可能有的其他零点一定是都位于带形区域0≤σ≤1中的复零点,它们称为"非无聊零点"。此外,他还给出了一些深刻的结果,而为后来的其他人所证明,例如, ⑦在带形区域0≤σ≤1中ζ(s)有无穷多个复零点，于1893年为 J.（-S.）阿达马所证明。⑧设T>0,以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1,0中的零点个数,则有,于1905年为H.von曼格尔德特所证明。⑨建立了ζ(s)的非无聊零点与π(x)（不超过x的素数个数）之间的一个关系式,于1894年为曼格尔德特所证明。这一关系式揭示了素数定理与ζ(s)的非无聊零点的分布有密切关系,指明了研究素数定理的方向。
黎曼还在他的这篇著名论文中提出了一个影响深远的猜测：ζ(s)的所有非无聊零点都位于直线Res＝1/2上，即所谓黎曼假设, 简记作 RH。 1974年N. 莱温松证明了ζ(s)至少有多于1/3的零点位于直线Res=1/2上。 1982年R.P.布伦特等四人证明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1, 0≤t≤81702130.19中的零点，全部位于直线Res=1/2上, 共有200000001个零点,都是一级零点。但是黎曼这个假设还没有被证明或被否定。从黎曼假设可推出一系列重要的数论和函数论方面的结果,虽然都是些假设性的(其中有的在后来被证明),但是这些结果指出了研究ζ(s)零点的重要意义和方向。1896年阿达马和C.dela瓦莱·普桑各自独立证明了ζ(s)在直线σ=1上没有零点,并推出了素数定理。 瓦莱-普桑又于1900年证明了存在一个正常数A1， 使得ζ(s)在区域中没有零点,并得到了有误差项的素数定理。И．M．维诺格拉多夫于1958年证明了存在一个正常数A2，使得对任意的 ε>0，ζ(s)在区域中没有零点,其中A2和ε有关, 并改进了有误差项的素数定理。素数定理的进展是严格按照黎曼所提出的思想、方法和结果而取得的。关于ζ(s)还有下面重要结果。1918年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德证明了。1926年A.E.英厄姆证明了
。
他于1940年又证明了当1/2≤σ<1时，
，式中T≥2，1/2≤α<1, N(α，T)表ζ(s)在矩形 α≤σ<1，│t│≤T中的零点个数（见素数分布）。此结果已被不断改进。通常把这类结果称为零点密度定理。
黎曼首先提出用复变函数论特别是ζ(s)研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。
参考书目
H. M. Edwards,RieMann's Zeta Function,Academic Press, New York, 1974.
华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》,科学出版社，北京，1963。
E.C.Titchmarsh,The Theory of the ReiMann ZetaFunction,Clarendon, Oxford, 1951.
A.lvi婞,The RieMann Zeta-Function,John Wiley & Sons, New York, 1985.
(*)式中表对所有的素数求积。这一著名恒等式是L.欧拉提出的。复变数s的函数ζ(s)是（G.F.）B.黎曼于 1859年发表的"论不大于一个给定值的素数个数"著名论文中第一次提出的, 他严格证明了：①ζ(s)可解析开拓到全平面，且满足函数方程；②除了s=1是一个残数为1的一次极点外, ζ(s)在整个平面上是正则的；③当σ>1时, ζ(s)没有零点；④当σ<0时，s=-2，-4，...，-2n,...是它的一级零点，这些零点称为ζ(s)的"无聊零点"。除此之外, ζ(s)没有零点。⑤当0≤σ<1 时, ζ(σ)≠0；⑥ζ(s)可能有的其他零点一定是都位于带形区域0≤σ≤1中的复零点,它们称为"非无聊零点"。此外,他还给出了一些深刻的结果,而为后来的其他人所证明,例如, ⑦在带形区域0≤σ≤1中ζ(s)有无穷多个复零点，于1893年为 J.（-S.）阿达马所证明。⑧设T>0,以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1,0
黎曼还在他的这篇著名论文中提出了一个影响深远的猜测：ζ(s)的所有非无聊零点都位于直线Res＝1/2上，即所谓黎曼假设, 简记作 RH。 1974年N. 莱温松证明了ζ(s)至少有多于1/3的零点位于直线Res=1/2上。 1982年R.P.布伦特等四人证明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1, 0≤t≤81702130.19中的零点，全部位于直线Res=1/2上, 共有200000001个零点,都是一级零点。但是黎曼这个假设还没有被证明或被否定。从黎曼假设可推出一系列重要的数论和函数论方面的结果,虽然都是些假设性的(其中有的在后来被证明),但是这些结果指出了研究ζ(s)零点的重要意义和方向。1896年阿达马和C.dela瓦莱·普桑各自独立证明了ζ(s)在直线σ=1上没有零点,并推出了素数定理。 瓦莱-普桑又于1900年证明了存在一个正常数A1， 使得ζ(s)在区域中没有零点,并得到了有误差项的素数定理。И．M．维诺格拉多夫于1958年证明了存在一个正常数A2，使得对任意的 ε>0，ζ(s)在区域中没有零点,其中A2和ε有关, 并改进了有误差项的素数定理。素数定理的进展是严格按照黎曼所提出的思想、方法和结果而取得的。关于ζ(s)还有下面重要结果。1918年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德证明了。1926年A.E.英厄姆证明了
。
他于1940年又证明了当1/2≤σ<1时，
，式中T≥2，1/2≤α<1, N(α，T)表ζ(s)在矩形 α≤σ<1，│t│≤T中的零点个数（见素数分布）。此结果已被不断改进。通常把这类结果称为零点密度定理。
黎曼首先提出用复变函数论特别是ζ(s)研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。
参考书目
H. M. Edwards,RieMann's Zeta Function,Academic Press, New York, 1974.
华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》,科学出版社，北京，1963。
E.C.Titchmarsh,The Theory of the ReiMann ZetaFunction,Clarendon, Oxford, 1951.
A.lvi婞,The RieMann Zeta-Function,John Wiley & Sons, New York, 1985.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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