1) associative algebra
结合代数
1.
One is that let φ be a representation on a finite dimensional associative algebra A , its representative matrix be T(a),and there exist an element a∈Z(A), a≠0,where Z(A) is the centralizer of A, such that T(a)≠0 and det T(a)=0,then φ is reducible.
给出有限维结合代数上表示可约性的两个判别法。
2.
By using the fundamental theorem of algebra,it is proved that there exists at least one root for a special class of polynomial equation with coefficients in a subspace of the associative algebra which is the base associative algebra of Clifford algebra.
利用代数基本定理,证明以Clifford代数所基于的结合代数的一子空间作系数空间,一类特殊的多项式方程在该子空间中至少存在一个根。
3.
Let L_C=νi=1Zc_i,L_D=νi=1Zd_i be lattices,L=L_C+L_D be a lattice with symmetric bilinear form,A be an associative algebra generated by e_α,d_i with relations e_0=1,e_(α+β)=e_αe_β,d_ie_α-e_αd_i=(d_i,α)e_α,d_id_j=d_jd_i(α,β∈ L_C,1≤i,j≤ν).
设LC= νi=1Zci,LD= νi=1Zdi 为格,L=LC+LD 为具有对称双线性形式(·,·)的双曲格,A为由eα,di 及关系e0=1,eα+β=eαeβ,dieα-eαdi=(di,α)eα,didj=djdi 生成的结合代数(α,β∈LC,1≤i,j≤ν)。
2) associative BCI algebras
结合BCI代数
3) associative BCI algebra
结合BCI_代数
4) associative BCI-algebras
结合BIC-代数
5) Hom-associative algebra
Hom-结合代数
1.
Then we discuss the relationship between the morphism of Hom-associative algebras and the morphism of Hom-coassociative coalgebras.
Silvestrov引入的Hom-结合代数与Hom-余结合余代数的相关概念,接着进一步讨论了Hom-结合代数同态与Hom-余结合余代数同态之间的关系。
6) associative superalgebra
结合超代数
1.
On the cohomology theory for associative superalgebra adjoining an identity element;
具有相伴单位元的结合超代数的上同调
补充资料：结合代数
一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。结合代数的研究，早在19世纪50年代，W.R.哈密顿考察四元数、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凯莱等人讨论矩阵代数之时就已开始，其目标是刻画各种类型的结合代数的结构和表示。
设A是非空集,F是域。在集A上定义有加法+和乘法·两个运算,在F和A之间定义有数乘运算,即对于任意α∈F,α∈A有αα∈A,且满足以下条件:①A关于加法+和乘法·作成结合环;②A关于加法+及数乘运算构成域F上的向量空间；③对任意α∈F，α、b∈A有α(αb)=(αα)b=α(αb)，这种代数系统记作｛A,+,·,数乘｝并称为域F 上结合代数，简称F上代数A或代数A。域F上向量空间A的维数也称为F上代数A的维数。
环的加法群是一个交换群，而代数的加法群是域F上的向量空间，后者较前者的结构要简单得多。例如，向量空间A必有基｛αi，i∈I｝，而任意α∈A可惟一表成 。于是只要知道αi之间的乘法表:,便可以计算A中任二元素,的乘积称为代数A的构造常数。反之，通过规定向量空间A的一组基元之间的乘法,可线性扩张成A中的一个乘法。人们常利用这种方便定义新代数。
与环相类似，结合代数也有子代数、理想、同态、直积等概念。
例如，代数A的理想B，即指B是向量空间A的子空间，又是环A的理想。与除环和单环相应的概念,是可除代数和单代数等。
仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数。设Q是一切复数对(α,b)的集合,规定(α,b)=(с,d)当且仅当 α=с,b=d，并定义如下的运算：婔,廀是复数с，d的共轭数,α是实数。直接验证可知,Q是实数域R上的一个四维结合代数，除了乘法交换律之外，Q的运算具有通常的数运算的所有性质。这是第一个非交换可除代数的例子。
如令
，
，
则它们组成R上代数Q的一个基,而Q关于此基的乘法表是：1是单位元;。这就是著名的四元数代数。
由于推广数系而得出四元数代数，随之产生出实数域与复数域上的结合代数的概念，最初曾称之为："超复数系"。实数域上有限维可除代数有三个而且只能有此三个：实数域、复数域、四元数代数。这就是著名的弗罗贝尼乌斯定理。而韦德伯恩定理则刻画了关于有限域的情形：有限域上有限维可除代数只能是有限域。
域K上一切n×n矩阵的集合Kn关于矩阵的加法、乘法和数乘运算,作成一个n2维结合代数,而且是单代数。用域F上m维可除代数D去代替域K，就得到D上一切n×n矩阵组成的F上mn2维结合代数Dn。Dn也是单代数。
关于有限维结合代数的韦德伯恩理论，对代数的研究有深远的影响。这一理论的主要内容是：①任意有限维结合代数A含有一个极大的幂零理想N(所谓N是幂零的，意指存在一个自然数n，使N中任意n个元素之积都是零)，它包含A的一切幂零理想，N称为A的幂零根，而商代数A/N的幂零根为零，幂零根为零的代数，称为半单代数；②半单代数是有限个单代数的直和;③F上单代数必具有形式Dn,其中D是F上可除代数，且D和n是惟一的；④任意代数A=N+S（向量空间的直和），其中N是A的幂零根，S是A的半单代数。
Α.И.马尔采夫证明了④中的子代数S在不计内自同构的意义下是惟一的。根据上述韦德伯恩定理，有限维代数的研究，基本上可归结为对幂零代数与可除代数的研究。实际上这是研究代数的一个模式：对代数引入根的概念，从而可将对任意代数的研究化归为对两类特殊代数的研究。结合环的阿廷理论和雅各布森理论，以及关于非结合代数和环的一些研究都是按照这一模式进行的。
F上单代数A有单位元1，因此可认定F=F·1吇A。若A的中心(即与A中任意元素都是乘法可换的元素的全体)恰是F，则A称为F上中心单代数。Fn是F上中心单代数。
张量积在研究单代数时起着重要作用。设A、B是F有单位元的代数。取A在F上的一个基：,且;取B在F上的一个基:,且。以符号集为基可作F上一个向量空间，记作A圱B。规定A圱B的一个乘法：,则得F上一个结合代数A圱B，称之为F上代数A和B的张量积。可以证明,代数A圱B与A和B之基的选择无关。两个F上中心单代数的张量积仍是F上中心单代数。利用张量积可以定义张量代数,或者外代数、格拉斯曼代数（见多重线性代数）。
令G表示F上有限维中心单代数的全体。在集合G中引入关系～：A～B当且仅当存在m、n∈Z +使得。容易证明，这是一个等价关系。令凴表示A所在的等价类，。在集合強中规定一个乘法：。可以证明，这个乘法定义是合理的,即与等价类凴的代表选择无关，并且強关于此乘法作成一个群。称群{強,·}为域F上的布饶尔群，记作B(F)。B(F)的结构反映了中心单代数间的张量积的性质。可以证明B(F)是交换周期群。
若A是F上n2维中心单代数，且含有一个子域K,而K是F上n次正规扩域，则A称为一个交叉积。若K是域F上的循环扩域,则交叉积A特称为循环代数。交叉积有比较简单的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等价类凴中)必含有一个交叉积。
布饶尔-哈塞-诺特－阿尔贝特理论是有限维结合代数中特别重要而完美的理论。它阐明了有理数域上的每一个单代数（尤其可除代数）都是其中心F上的循环代数,也就是说，有理数域的有限扩域F上的中心单代数都是循环代数。近年来，S.阿米策等人讨论了不是交叉积的可除代数。
所谓有限维结合代数的表示,是指代数到域F上矩阵代数Fn内的同态映射。有限维结合代数的表示理论与有限群表示论之间有密切的联系。设G是一有限群,其元素为g1,g2,...,gn，F是一域,作一个以g1,g2,...,gn为基元的n维向量空间,于是便得到F上一个结合代数,称之为群代数，并记作F[G]。由结合代数F[G]的一个表示可得群G的一个表示。反之亦然。若域F的特征不能整除群G的元素个数│G│,则F[G]是半单代数。这就是马施克定理。由前述的韦德伯恩定理可进而得出半单代数的较为完整的表示理论，它可用来刻画有限群的常表示。若为域F的特征能整除│G│的情况，即有限群的模表示，则要求发展F上非半单代数的表示。弗罗贝尼乌斯代数、拟弗罗贝尼乌斯代数、单列代数以及它们的推广，是首先研究的非半单代数类，在研究中广泛使用了同调代数工具。近年来，代数的表示论在M.奥斯兰德、P.加布里埃尔、A.V.罗伊特等人手中有很大发展，是很活跃的一个代数分支。
1933年中山正、松岛与三证明了局部域上单代数的换位子群等于换 1元素群。王湘浩在1950年证明了上述二群在代数数域情形下仍相等，而且在一般域的情形下当指数无平方因子时也相等。这里首先提出的在最一般的情形下的问题,这在以后兴起的代数K理论和代数群理论中是很重要的。
设A是非空集,F是域。在集A上定义有加法+和乘法·两个运算,在F和A之间定义有数乘运算,即对于任意α∈F,α∈A有αα∈A,且满足以下条件:①A关于加法+和乘法·作成结合环;②A关于加法+及数乘运算构成域F上的向量空间；③对任意α∈F，α、b∈A有α(αb)=(αα)b=α(αb)，这种代数系统记作｛A,+,·,数乘｝并称为域F 上结合代数，简称F上代数A或代数A。域F上向量空间A的维数也称为F上代数A的维数。
环的加法群是一个交换群，而代数的加法群是域F上的向量空间，后者较前者的结构要简单得多。例如，向量空间A必有基｛αi，i∈I｝，而任意α∈A可惟一表成 。于是只要知道αi之间的乘法表:,便可以计算A中任二元素,的乘积称为代数A的构造常数。反之，通过规定向量空间A的一组基元之间的乘法,可线性扩张成A中的一个乘法。人们常利用这种方便定义新代数。
与环相类似，结合代数也有子代数、理想、同态、直积等概念。
例如，代数A的理想B，即指B是向量空间A的子空间，又是环A的理想。与除环和单环相应的概念,是可除代数和单代数等。
仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数。设Q是一切复数对(α,b)的集合,规定(α,b)=(с,d)当且仅当 α=с,b=d，并定义如下的运算：婔,廀是复数с，d的共轭数,α是实数。直接验证可知,Q是实数域R上的一个四维结合代数，除了乘法交换律之外，Q的运算具有通常的数运算的所有性质。这是第一个非交换可除代数的例子。
如令
，
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则它们组成R上代数Q的一个基,而Q关于此基的乘法表是：1是单位元;。这就是著名的四元数代数。
由于推广数系而得出四元数代数，随之产生出实数域与复数域上的结合代数的概念，最初曾称之为："超复数系"。实数域上有限维可除代数有三个而且只能有此三个：实数域、复数域、四元数代数。这就是著名的弗罗贝尼乌斯定理。而韦德伯恩定理则刻画了关于有限域的情形：有限域上有限维可除代数只能是有限域。
域K上一切n×n矩阵的集合Kn关于矩阵的加法、乘法和数乘运算,作成一个n2维结合代数,而且是单代数。用域F上m维可除代数D去代替域K，就得到D上一切n×n矩阵组成的F上mn2维结合代数Dn。Dn也是单代数。
关于有限维结合代数的韦德伯恩理论，对代数的研究有深远的影响。这一理论的主要内容是：①任意有限维结合代数A含有一个极大的幂零理想N(所谓N是幂零的，意指存在一个自然数n，使N中任意n个元素之积都是零)，它包含A的一切幂零理想，N称为A的幂零根，而商代数A/N的幂零根为零，幂零根为零的代数，称为半单代数；②半单代数是有限个单代数的直和;③F上单代数必具有形式Dn,其中D是F上可除代数，且D和n是惟一的；④任意代数A=N+S（向量空间的直和），其中N是A的幂零根，S是A的半单代数。
Α.И.马尔采夫证明了④中的子代数S在不计内自同构的意义下是惟一的。根据上述韦德伯恩定理，有限维代数的研究，基本上可归结为对幂零代数与可除代数的研究。实际上这是研究代数的一个模式：对代数引入根的概念，从而可将对任意代数的研究化归为对两类特殊代数的研究。结合环的阿廷理论和雅各布森理论，以及关于非结合代数和环的一些研究都是按照这一模式进行的。
F上单代数A有单位元1，因此可认定F=F·1吇A。若A的中心(即与A中任意元素都是乘法可换的元素的全体)恰是F，则A称为F上中心单代数。Fn是F上中心单代数。
张量积在研究单代数时起着重要作用。设A、B是F有单位元的代数。取A在F上的一个基：,且;取B在F上的一个基:,且。以符号集为基可作F上一个向量空间，记作A圱B。规定A圱B的一个乘法：,则得F上一个结合代数A圱B，称之为F上代数A和B的张量积。可以证明,代数A圱B与A和B之基的选择无关。两个F上中心单代数的张量积仍是F上中心单代数。利用张量积可以定义张量代数,或者外代数、格拉斯曼代数（见多重线性代数）。
令G表示F上有限维中心单代数的全体。在集合G中引入关系～：A～B当且仅当存在m、n∈Z +使得。容易证明，这是一个等价关系。令凴表示A所在的等价类，。在集合強中规定一个乘法：。可以证明，这个乘法定义是合理的,即与等价类凴的代表选择无关，并且強关于此乘法作成一个群。称群{強,·}为域F上的布饶尔群，记作B(F)。B(F)的结构反映了中心单代数间的张量积的性质。可以证明B(F)是交换周期群。
若A是F上n2维中心单代数，且含有一个子域K,而K是F上n次正规扩域，则A称为一个交叉积。若K是域F上的循环扩域,则交叉积A特称为循环代数。交叉积有比较简单的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等价类凴中)必含有一个交叉积。
布饶尔-哈塞-诺特－阿尔贝特理论是有限维结合代数中特别重要而完美的理论。它阐明了有理数域上的每一个单代数（尤其可除代数）都是其中心F上的循环代数,也就是说，有理数域的有限扩域F上的中心单代数都是循环代数。近年来，S.阿米策等人讨论了不是交叉积的可除代数。
所谓有限维结合代数的表示,是指代数到域F上矩阵代数Fn内的同态映射。有限维结合代数的表示理论与有限群表示论之间有密切的联系。设G是一有限群,其元素为g1,g2,...,gn，F是一域,作一个以g1,g2,...,gn为基元的n维向量空间,于是便得到F上一个结合代数,称之为群代数，并记作F[G]。由结合代数F[G]的一个表示可得群G的一个表示。反之亦然。若域F的特征不能整除群G的元素个数│G│,则F[G]是半单代数。这就是马施克定理。由前述的韦德伯恩定理可进而得出半单代数的较为完整的表示理论，它可用来刻画有限群的常表示。若为域F的特征能整除│G│的情况，即有限群的模表示，则要求发展F上非半单代数的表示。弗罗贝尼乌斯代数、拟弗罗贝尼乌斯代数、单列代数以及它们的推广，是首先研究的非半单代数类，在研究中广泛使用了同调代数工具。近年来，代数的表示论在M.奥斯兰德、P.加布里埃尔、A.V.罗伊特等人手中有很大发展，是很活跃的一个代数分支。
1933年中山正、松岛与三证明了局部域上单代数的换位子群等于换 1元素群。王湘浩在1950年证明了上述二群在代数数域情形下仍相等，而且在一般域的情形下当指数无平方因子时也相等。这里首先提出的在最一般的情形下的问题,这在以后兴起的代数K理论和代数群理论中是很重要的。
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参考词条