补充资料：线性微分算子

线性微分算子
linear differential operator

定义了一个标量积，那么这些丛的平方可积截面的空间也定义了.由局部表达式(l)定义的线性微分算子定义了一个线性无界算子A二LZ(E)~L:(F).在一定的弱的假设下，后者作为H正bert空间上的一个算子可以是闭的.这个闭包也称为线性微分算子.用类似的方法可以构造06朗eB空间或更一般的标量的空间上的算子. C的类线性微分算子可以扩张为广义截面空间上的算子.这样的扩张可以用形式伴随算子的方法构造.设E‘是对偶于E的丛(即E’二Hom(E，I)，其中I是平凡一维丛)并且Q是X上最大阶的微分形式的丛.那里定义了一个涉及X上积分的双线性映射 (·，·)::r(X，E)x几(X，E‘⑧0)~k.这里r。(·)是带紧支集的截面的空间.公式 (‘Av，u):=(v，Au);唯一地定义了一个线性算子 ‘A:r。(X，F‘⑧0)~F。(X，E’⑧Q).这个算子是由线性微分算子‘A;F‘00~E‘⑧Q诱导的，它在坐标邻域U的内部有表达式 一日‘l+十’·广au、 义u二)(一1丫‘十宁场一， ~、一口州，二日x甘如果丛O通过截面dx，八…八dx。的选择平凡化.线性微分算子‘A称为关于A的形式伴随的(fonnallyadjoint). 在空间r。(X，E‘因O)中收敛按下面的规则定义:人~f，如果截面几的支集的并包含在一个紧集中，并且如果在任何其上存在E的平凡化的坐标邻域UCX中，向量值函数人一致收敛到f且它对局部坐标的所有偏导数都一致收敛.所有线性泛函的空间称为E的广义截面空间(s paceof脚e扭血比涨戈tlons)并且记为D‘(E).算子rA把收敛序列映到收敛序列，所以生成一个伴随算子D‘(E)~D‘(F)后者在子空间r(X，E)上与A一致，并且称为给定的线性微分算子到广义截面空间的扩张(ex记nsion).也考虑线性微分算子到无穷阶广义截面空间、超函数空间等等的扩弓长. 无穷阶的线性微分算子理解为作用在解析函数(截面)的某个空间上的算子，并且用(1)定义，其中的和取遍指标的一个无限集11，一，‘。，·… 下面的性质刻画了线性微分算子.序列{人}C=r(X，E)称为收敛到截面f，如果人和它所有的偏导数在有紧闭包的任一坐标邻域中一致趋向于f及其相应偏导数.把收敛序列映到收敛序列的线性算子A:r0(X，E)~r(X，F)是一个至多m阶的线性微分算子，当且仅当对任何f，g‘C田(X)函数 cxp(一i又g)A(fexp(i又g))(2)是参数又的至多m次的多项式.如果这个条件用(2)表为一个渐近幂级数(留卯叩仍tjcpo撇sen留)的假设代替，那么得到线性伪微分算子(衅udo~dj月乞rentialopemtor)的定义. 假设流形X以及丛E和F赋予G结构(G一struc-t侧re)，其中G是一个群.那么这个群在任何线性微分算子A:E~F上的作用用公式 g‘(A)(。

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