补充资料：微分算子的差分算子逼近

微分算子的差分算子逼近
ial operator by difference operators approximation of a differen-

　　tiai月耳阳口姗by由ffe比n.雌比ra翻娜，田.，场盆恻朋栩;职冲-中印阅脚~伽明娜r峨哪旧即3一M! 用依赖于参数的算子对微分算子的一种通近依赖于参数的算子对某一函数的作用结果由该函数在某离散点集-一网格—上的值确定这种逼近随着参数(网格步长)趋于零而变得越来越准确. 设L(L“二‘t)是一个将函数类U中任意函数u变换到线性赋范空间F中某一函数.了的微分算子.设D。是u中函数的定义域，并设几，中有某离散子集即网格D、，它随h一0而越来越稠密.设U八是所有只定义在网格(点)上的函数加}*的集合f川*在网格J旅上-的值同“一致.将V丙中的网格函数变换到F中的函数几的任意算子L六定义为差分算子.如果对任意的函数“任U，‘场h，O时有 {1 Lu一粼Iu!八{}*一O {}加一与!。L}}J(动声:二以“)常数则称算子L*(L*[“l、二.了*)是在U一上一对微分算一子乙的p阶逼近有时也把逼近理解为某种弱收敛意义下的等式 想川略二:。微分算子的差分逼近用于通过函数。在网格点卜的值表卜]*来近似计算函数Lu，也用一于橄分方程的差分方程通近(aPProximation、)f 0 differential equatlon bydifferen沈equations) 有两种基本方法来构造逼近L的算子L儿. 在第一种方法中，L六!u]、定义为微分算子乙对u中一个函数的作用结果，该函数是根据网格函数{u]、用某种插值公式求得的. 第二种方法如下，在F中函数.厂的定义域D，洲，引进网格D、;，并考虑定义在D儿，上的网格函数九听组成的线性空间F、.算子I*{uj*定义为两个算子的积，-个算子将函数【川八变换成F六‘朴的网格函数/*.即f的近似值表另一个算子将f*从D*F延拓到整个认域D;.例如为一r逼近微分算子 dd“ dx’dx构造由点、、(k=04二，N)组成的网格从: O一戈(;〔<戈‘<肠，<一1、1. m以(一玩一、、)比 人及由、以 、:、、夕(、、}一、、).k一(J，.，、 O石夕蕊1.刀常数组成的网格D、;.算子L*[。l*在点式的值由方程u fx;+!、一“(x，) L‘l“!‘l=I‘吸X奋j二—， ”‘”*、;“x介、，一x左 k=0，…，N一l，来确定.然后L*「u1*的定义分片线性地从D*;中延拓出去，只在点式(k二1，…，N一2)处可能有转折. 设F中范数由以下公式定义: l}叫.;=sup}毋(x)1·这时在三阶导数有界的函数类U上，对于0=0与0=h/2，算子L*分别表示对L二d/dx的一阶与二阶逼近.在二阶导数有界的函数类U上，对于任意的0可O，l]，L，只表示一阶逼近. 有时如果只定义在Dh;中的点上的网格函数 玩[u‘{=八。八 }几，的构造方法已经找到，则可有条件地认为差分算子对微分算子的逼近问题已经解决，而不考虑函数几向D;的延拓问题.在这种情况下，为定义逼近，可认为凡是赋范的，并假设对于给定的网格和范数，在Dh;的点上同任意的函数f任F相等的函数笼升、任F、满足等式 忽{}价*}}。=}}f}!;，算子L。可理解为从U、到F*的算子，如果当h~O时， }}{Lu}、一L*【。l*{}，，*0， }!{Lu}、一Lh IuL!1，*续chp，则称L*在U上是L的p阶逼近. 为构造在充分光滑的函数类中以指定阶逼近L的算子L、，经常用有限差分逼近代替L的表达式中的每个导数.这种方法基于以下事实:对于任意整数i，j及任意的k。(2k0+l)i+j)在方程 ko h一，艺e*。(x+介h)= k=一ko =。。)(x)+。(x，h，e一*。，…，c*.)中，通过待定系数法及Taylor公式，可以选择与h无关的数c*，使对j+r(r(i)阶导数为有界的任意函数u(x)，以下形式的不等式成立: {g(x，六，“一、。，一“、。)阵A。‘峥p{“妙+尹，(‘)}h厂，其中A‘j只依赖于i，j.例如，要构造LaPlaCe算子A的逼近算子 _aZu .aZu △“三份号+资，号=f(x，少)， ax孟妙名设D。是闭正方形}川簇1，}y{簇1，D;是其内部}x1<1，}y}<1.又设h=1/N，N是自然数，用以下点构造网格: (x、少)二(。h，。h)，{。h{(l，}nh}<1，这些点属于DoU.点 (x，y)=(n，h，nh)，}mh}‘l，}nh}　　

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