补充资料：平面实代数曲线

平面实代数曲线
plane real algebraic curve

代数曲线L上是正则的(reg川ar).如果存在(曲线L上以及M上的)正则映射F:L一，M和G:M一，L，它们互为逆映射，则称曲线L和M是同构的(isomorphjc).此时环K(L)和K(M)同构.特别地，仿射等价的曲线是同构的. 更一般地，从曲线L到曲线M的有理映射(fa-tio耐mapPing)可用有理函数表示.它建立了曲线间除去有限多点外其他所有点问的一个对应，而且可如下定义.设.厂二0和g二0分别是L和M的定义方程，则有理映射F可由一对定义在L上且满足g(势，吵)二0的有理函数价和沙所定义.如果存在从L到M和从M到L的互逆有理映射，则称曲线L与M是双有理等价的(birati。蒯ly叫u」讼正nt).这样的有理映射称为双有理变换(bira如nal tmnsfon刀ation)或Cre仃IOna变换(Crernona trdnsfonl、比tion).平面上的所有Crenlolla变换可通过逐次执行标准二次孪攀(st anctard quadnltictonsl’orma咖)二‘一’1)王，y一1 Zy，以及射影变换来实现.双有理等价性比同构粗糙，但是从这个观点对平面实代数曲线作分类则更简单且易于观察. 有理变换的一个很简单的例子是射影变换(projec-tivet~formatlon).从一条不是直线的不可约曲线L到L的对偶(dUal)曲线L‘里的对偶映射(d比11 map-p哩)起着重要的作用，这个对偶映射由下式定义: 兰工 一万万平下百一， 了一x于午一y会乙 刁x护刀y 互 .、_刁y v二一.(2、 I一X一一V一 t)x口y其中f是定义L的多项式.从(1)和(2)中消去x和y得到的方程 夕(u，v)二0定义了L’从对偶映射与切线变换(tangent达It伽s-formation)间的关系，可以看出在某些情形里L‘可被表示为与L相切的直线族的包络. L’的次数称为曲线L的类(class)n’.对偶关系是互反的，即L‘’二L，它是射影几何里的对偶原理(d珑山ty pnncjPle)的一个反映. 由(l)定义的平面实代数曲线L的点x当在x处有gmdf“O时被称为奇点(sin即lar point).奇点的分析对于L的研究是十分必要的，可是奇点的分类迄今尚远未完成. 如果多项式厂在x点的直至r一l阶的导数都等于O，而x点的r阶导数异于零，则称x为厂重点(point of multiPlicity。

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