补充资料：四维流形

四维流形
four - dimensional manifold

【补注】如上所述，从几个观点看，维数4是有点异常.对于分段线性拓扑，用Po划刃比H定理(Rok山in the-o~)说明:设M4是具有第二Stiefe}一脚肠切ey类wZ(M呜)=O的紧致定向分段线性的流形，则符号差口(M4)二0nl以116.四维流形【丘盼一山m曰日如.1 11.亩fokl;呵eTupexMep”oeM“oroo6pa3oe] 一个拓扑空间，在其中每个点有一个同胚于四维Et‘lid空间R4或闭半空间R土的邻域.这个定义通常附加要求四维流形为Hat目o甫和有可数基的拓扑空间.四维流形的拓扑在流形的拓扑(t。加拓罗ofmanifo」ds)中占有一个特殊的位置一方面，对一般位置(罗伙mll下拾姚沁n)的技术的直接应用，维数4太小，然而对高维拓扑中如此产生的横截性(仃山侣代晓a.lity)(和割补术(sur罗ry))，它又太大，以致排除了三维拓扑的更直观方法的直接使用.另一方面，四维流形的拓扑继承了三维的也是高维的拓扑的许多难点.这可用事实说明，例如，四维流形的边界可以是一个任意的三维流形，而每一个有限表现群是某个闭四维流形的基本群(n川由men回gro叩).稍后，观测是基于四维流形的算法识别同胚型的不可能性.维数4的例外情形是通过下面的事实来阐述清楚的:在流形R”上存在一个非标准的分段线性(和可微的)结构仅当。二4时成立.不允许分段线性结构的四维流形是存在的.如果总有这样的结构存在，那么有唯一的微分结构与它相容·用复结构装备起来的四维流形称为解析曲面(alu】ytic sulfaCe). 对每个闭的可定向的四维流形M，一个么模整数值的对称双线性形式LM是相伴的，且通过闭链的交作用在群HZ(M;z)的自由部分上.这个形式的符号差称为流形的符号差(slgnat眠).相交形式是四维流形最重要的不变量.两个闭的单连通可微四维流形是h配边(h一oobe川ism)的，当且仅当它们的形式是同构的.如果相应于一个可微的四维流形M的双线性形式L、的二次型只取偶数值，则它的稳定切丛的构造群50可用群Spin来代替.这样的四维流形称为自旋流形(sPinn以nifolds).存在闭单连通四维流形的拓扑分类.每个具有偶形式的这样的四维流形完全由它决定，并且每个偶的整数值的对称么模形式被认作为单连通四维拓扑流形的相交形式特别地，四维拓扑的R如ca咙猜想(Polnca比conjeCtLu℃)是真的一个具有奇形式的四维流形的分类不变量是由形式对(L，‘)给出的，其中L是奇的整数值的对称的么模双线性形式，且K二O或1.每个具有奇形式的闭单连通四维流形M完全由对(L。，KM)决定，其中如果流形M的稳定切丛允许一个平凡化.则K、=O，否则就是1.每个这样的对是可以实现的.可以通过单连通可微的四维流形实现的形式的问题还未完全解决.熟知所有奇的不定形式可以实现.在偶的不定形式中间，如果m是偶数且3爪簇Zn，则K四翻.叮曲面(K比lur七rsurfaCe)和流形夕x宁的连通和确认为m ES 0 nU一个具有奇数爪的这种类型的形式已知不是一个闭可微四维流形的相交形式，因为这样的旋量流形的符号差必能被16除尽，而形式附E，0 nU的符号差等于8巩从上面给出的形式知，只有由单位矩阵给出的形式才能实现.

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