补充资料：Cayley-Klein参数

Cayley-Klein参数
Cayley- Klein parameters

　　Cayley一幻ein参数1 Cayley一Kleio pal侧mete招，K，几一Kle肠“a napaMe，P‘一} 三维空间的旋转群50(3)的特殊坐标，它的构造归根到底基于分析50(3)和行列式为1的2 xZ酉矩阵的群SU(2)间的关系.存在一个映射杯SU(2)一50(3工此映射从代数性质来看是一个满态射(eP~rp比]句从拓扑性质来看是双重菠盈(covermg)(限制在单位矩阵的某个邻域，则砂是一个同构;换句话说，S()(3)和SU(2)是局部同构).每个矩阵I厂任SU(2)可写成 }la川! }1一召夜{{’其中:，刀为复数，且{川’十，ljI“二1.。，刀取作为A二势(F)的Caylay·Klein参数.(Cayley一侧ein参数有时可取矩阵V的四个元素)可以用许多方法去具体构造具有上面性质的映射，不同的作者采取了稍许不同的途径来定义Cayley一幻ein参数(见(【2」，【3}). 由于明不是真的同构，而只是双重筱叠映射，所以不可能将Cayley一习ein参数作为50(3)的整体(连续)坐标;而仅能作为局部坐标.不过每月是单实参数t的连续函数时(不必用任何方式来限制从可能取的值域)，Cayley一Klein参数仍可用来研究旋转的过程.事实上，如果在t=气时取固定值F(t0)=毋’(A(t0))，则用对所有t的连续性，V(t)的对应值便唯l一决定.(完全逆抓‘是双值的这一事实只引导了不仅当V(t)二厂(s)时，而且当F(t)二一V(s)时有A(t)=A(s))因此Cayley一Klein参数用来刻画绕固定点的刚体运动(其构形空间为50(3)).这种做法在「11中被采用，但是并未达到普及. 群SU(2)同构于模为l的四元数(quatern一or，)构成之群;将V换成对应的四元数p十不十脚十味.就能用适合条件声十矛十声十尹二】的所谓E::ler一R记rigueZ参数的四个实数p，凡，赵，下来代替Caylay一Kleixl参数.EOler一Rodtl，ez参数与心ylay一Klein参数具有简单的关系(见111，12))和同样的“双值性”性质(此问题的历史见11])，在flj中实质上第一次引向旋转群的双值表示(见旋最(spinor)).
　　

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