1) closed surface
闭曲面
1.
The Minkowski formula of oriented closed surfaces in R 3 is generalized to that of the oriented closed supersurface in space forms M n+1 (a) .
把 R3 中二维闭曲面的 Minkowski公式推广到空间型中的定向闭曲面之
2) closed surfaces
闭曲面
1.
By using Minkowski formula,we derive an interesting integral formula for closed surfaces isometrically immersed in E3,and then apply this formula to obtain a characterization of the surface.
利用Minkowski公式,得到了等距浸入在E3中的闭曲面上的一个有趣积分公式,应用此公式得到了闭曲面的一个特征。
3) closed surface
封闭曲面
1.
The rational symmetry of closed surfaces of the curved surfaces of d chitals on their expasion axes has been studied in the article.
本文讨论了ｄ轨道常见曲面的各瓣封闭曲面绕其伸展轴的旋转对称性。
4) closed hypersurface
闭超曲面
1.
In this paper,we studied the closed hypersurface with non zero const ant mean curvature in a unit sphere,and found the hypersurface is a small sphere of Hr－torus under certain condition of the square of the length of the second foundamental form and the mean curvature.
研究了单位球空间中平均曲率为非零常数的闭超曲面，得到在超曲面的第二基本形 式长度平方与其平均曲率满足一定的条件下，超曲面为小球面或Hr──环面。
5) Convex closed surface
凸闭曲面
6) closed curve in plane
平面闭曲线
1.
The completely equal curvature of ellipse torus on closed curve in plane;
平面闭曲线上扁形椭圆环面的全平均曲率——Willmore猜想的一个例证
补充资料：闭曲面的分类
关于空间的拓扑分类，这是一个既重要又有趣，然而也是非常难的问题，至今没有能完全解决。但限于闭曲面的情形，结果是非常完满的。它是数学中为数不多的几个完整的漂亮定理之一。
在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实际上，它可以作为构造其他的闭曲面的出发点。
为了从球面得到其他的闭曲面，先在球面上剪去几块，或者换一种说法,就是打些洞,然后再用适当的"补钉"将这些洞补上。当然，为了得到新的闭曲面，不能用刚剪下来的那种小圆片当"补钉"，而应换用其他类型的曲面。显然,如果用平环（如图1所示的阴影部分） 作为"补钉"来补（平环的外圆周和洞的边缘粘合），那么球面上的洞补好了，而平环本身的洞（内圆周）仍空着。为了补这个新出现的洞，显然只要把它和球面上另一个洞的边缘粘合即可。这样，用平环（它拓扑等价于圆柱面）这种"补钉"来补洞，一次就可将两个洞补好。也就是说，把圆柱面的上端圆周和球面上的一个洞的边缘(也是一个圆周)粘合，而把下端圆周和球面上的另一个洞的边缘粘合。图2为用这种办法修补后得到的闭曲面。这种曲面由于像给球面安了个柄,故称它为带有一个柄的球面。显然,我们可以往球面上安任意多个柄，这些具有不同数目的柄的球面，构成不同胚的闭曲面的"一半"。在介绍另"一半"之前，应注意到以上的闭曲面都是双侧的，即其中一侧可以涂一种颜色，而另一侧则可涂另一种颜色。
用平环这种"补钉"修补球面上的洞时，先是将外圆周和一个洞的边缘粘合，然后再将内圆周和另一个洞的边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭曲面。为了得到闭曲面，也可以直接将内圆周上的点，按粘合对径点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这种先将内圆周沿对径点粘好的"补钉"，称为"交叉帽"，一个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交叉帽的球面，就构成另一半闭曲面。总而言之，任意一个闭曲面，它不是和一个安有若干个柄的球面同胚，就是和一个带有某些个交叉帽的球面同胚。
交叉帽是将平环的内圆周沿对径点粘合。现将平环沿AB和DE剪开（图3），得到ACDEF和A┡B┡C┡D┡E┡G 两块（这里A剪开成A和A┡,B、D、E，同此，但B和D是对径点应粘合,故B、B┡,D、D┡为同一点）。现将这两块沿BCD和D┡C┡B┡粘合。如图4，所示,在长方形中，两垂直边AE┡和A┡E沿标明方向粘合。这种将长方形的一对边,扭180°再粘合而得到的曲面叫做麦比乌斯带（见彩图）。因此交叉帽就是麦比乌斯带。它除了只有一个边缘（平环的外圆周）这一特点外，还有另一个特点──单侧，即不能用两种不同的颜色来涂满两个侧面。因此带交叉帽的球面也是单侧的。
带一个交叉帽的球面，就是投影平面（投影平面就是将单位圆的对径点粘合而得,见图5。由于对径点粘合，故阴影部分同胚于有一个洞的球面，而余下部分为麦比乌斯带）；带两个交叉帽的球面，通常叫做单侧双环面或克莱因瓶（见图6及见彩图）。
单侧曲面画出来都是要自己和自己相交的。
在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实际上，它可以作为构造其他的闭曲面的出发点。
为了从球面得到其他的闭曲面，先在球面上剪去几块，或者换一种说法,就是打些洞,然后再用适当的"补钉"将这些洞补上。当然，为了得到新的闭曲面，不能用刚剪下来的那种小圆片当"补钉"，而应换用其他类型的曲面。显然,如果用平环（如图1所示的阴影部分） 作为"补钉"来补（平环的外圆周和洞的边缘粘合），那么球面上的洞补好了，而平环本身的洞（内圆周）仍空着。为了补这个新出现的洞，显然只要把它和球面上另一个洞的边缘粘合即可。这样，用平环（它拓扑等价于圆柱面）这种"补钉"来补洞，一次就可将两个洞补好。也就是说，把圆柱面的上端圆周和球面上的一个洞的边缘(也是一个圆周)粘合，而把下端圆周和球面上的另一个洞的边缘粘合。图2为用这种办法修补后得到的闭曲面。这种曲面由于像给球面安了个柄,故称它为带有一个柄的球面。显然,我们可以往球面上安任意多个柄，这些具有不同数目的柄的球面，构成不同胚的闭曲面的"一半"。在介绍另"一半"之前，应注意到以上的闭曲面都是双侧的，即其中一侧可以涂一种颜色，而另一侧则可涂另一种颜色。
用平环这种"补钉"修补球面上的洞时，先是将外圆周和一个洞的边缘粘合，然后再将内圆周和另一个洞的边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭曲面。为了得到闭曲面，也可以直接将内圆周上的点，按粘合对径点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这种先将内圆周沿对径点粘好的"补钉"，称为"交叉帽"，一个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交叉帽的球面，就构成另一半闭曲面。总而言之，任意一个闭曲面，它不是和一个安有若干个柄的球面同胚，就是和一个带有某些个交叉帽的球面同胚。
交叉帽是将平环的内圆周沿对径点粘合。现将平环沿AB和DE剪开（图3），得到ACDEF和A┡B┡C┡D┡E┡G 两块（这里A剪开成A和A┡,B、D、E，同此，但B和D是对径点应粘合,故B、B┡,D、D┡为同一点）。现将这两块沿BCD和D┡C┡B┡粘合。如图4，所示,在长方形中，两垂直边AE┡和A┡E沿标明方向粘合。这种将长方形的一对边,扭180°再粘合而得到的曲面叫做麦比乌斯带（见彩图）。因此交叉帽就是麦比乌斯带。它除了只有一个边缘（平环的外圆周）这一特点外，还有另一个特点──单侧，即不能用两种不同的颜色来涂满两个侧面。因此带交叉帽的球面也是单侧的。
带一个交叉帽的球面，就是投影平面（投影平面就是将单位圆的对径点粘合而得,见图5。由于对径点粘合，故阴影部分同胚于有一个洞的球面，而余下部分为麦比乌斯带）；带两个交叉帽的球面，通常叫做单侧双环面或克莱因瓶（见图6及见彩图）。
单侧曲面画出来都是要自己和自己相交的。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条