1) smooth closed surface
光滑闭曲面
2) smooth surface
光滑曲面
1.
The interpolation with a curve restricted on smooth surface Σ is concerned.
研究限制在光滑曲面Σ上的曲线插值问题。
2.
The problem of constructing interpolating curve restricted on a smooth surface is discussed.
限制在某些光滑曲面上的曲线插值问题的研究，主要方法是基于构造一个ＤＲ２→Ｒ３，且象集既为该曲面的映射，从而将原问题化为通常的平面上的插值问题。
3) multiply connected domains
光滑封闭曲线
4) hypersurface smooth
光滑超曲面
1.
In this paper a two-variable Minkowski projecting mapping in R~3 will be generalized to n-variable Minkowski projecting smooth immersion as :M→R~(n+1) basing on a fixed point p and n-dimension hypersurface smooth M in R~(n+1)(n≥2).
将R3中2元Minkowski投影映射推广为Rn+1(n≥2)中定点p关于n维光滑超曲面M到Rn+1的Minkowski投影浸入:M→Rn+1,得到n元Minkowski支撑函数φ(u1,u2,…,un)=‖P(u1,u2,…,un)+y0αPα-p‖,并证明当φ(u1,u2,…,un)在M和p(M)的共同临界点x0处不为零,且(bαβ)x0非奇异时,M和p(M)在x0处有共同的切空间Tx0M。
5) ultra-smooth free-form surfaces
超光滑自由曲面
1.
The ultra-smooth free-form surfaces are more and more important in the fields of modern optics and photoelectron discipline, national defense industry and ultra-precision moulds.
超光滑自由曲面在现代光学及光电子学科、国防工业和超精密模具制造领域的作用愈来愈重要，相应的超光滑加工技术也成为现代超精密加工技术的重要组成部分。
6) smooth plane curve
光滑平面曲线
补充资料：闭曲面的分类
关于空间的拓扑分类，这是一个既重要又有趣，然而也是非常难的问题，至今没有能完全解决。但限于闭曲面的情形，结果是非常完满的。它是数学中为数不多的几个完整的漂亮定理之一。
在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实际上，它可以作为构造其他的闭曲面的出发点。
为了从球面得到其他的闭曲面，先在球面上剪去几块，或者换一种说法,就是打些洞,然后再用适当的"补钉"将这些洞补上。当然，为了得到新的闭曲面，不能用刚剪下来的那种小圆片当"补钉"，而应换用其他类型的曲面。显然,如果用平环（如图1所示的阴影部分） 作为"补钉"来补（平环的外圆周和洞的边缘粘合），那么球面上的洞补好了，而平环本身的洞（内圆周）仍空着。为了补这个新出现的洞，显然只要把它和球面上另一个洞的边缘粘合即可。这样，用平环（它拓扑等价于圆柱面）这种"补钉"来补洞，一次就可将两个洞补好。也就是说，把圆柱面的上端圆周和球面上的一个洞的边缘(也是一个圆周)粘合，而把下端圆周和球面上的另一个洞的边缘粘合。图2为用这种办法修补后得到的闭曲面。这种曲面由于像给球面安了个柄,故称它为带有一个柄的球面。显然,我们可以往球面上安任意多个柄，这些具有不同数目的柄的球面，构成不同胚的闭曲面的"一半"。在介绍另"一半"之前，应注意到以上的闭曲面都是双侧的，即其中一侧可以涂一种颜色，而另一侧则可涂另一种颜色。
用平环这种"补钉"修补球面上的洞时，先是将外圆周和一个洞的边缘粘合，然后再将内圆周和另一个洞的边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭曲面。为了得到闭曲面，也可以直接将内圆周上的点，按粘合对径点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这种先将内圆周沿对径点粘好的"补钉"，称为"交叉帽"，一个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交叉帽的球面，就构成另一半闭曲面。总而言之，任意一个闭曲面，它不是和一个安有若干个柄的球面同胚，就是和一个带有某些个交叉帽的球面同胚。
交叉帽是将平环的内圆周沿对径点粘合。现将平环沿AB和DE剪开（图3），得到ACDEF和A┡B┡C┡D┡E┡G 两块（这里A剪开成A和A┡,B、D、E，同此，但B和D是对径点应粘合,故B、B┡,D、D┡为同一点）。现将这两块沿BCD和D┡C┡B┡粘合。如图4，所示,在长方形中，两垂直边AE┡和A┡E沿标明方向粘合。这种将长方形的一对边,扭180°再粘合而得到的曲面叫做麦比乌斯带（见彩图）。因此交叉帽就是麦比乌斯带。它除了只有一个边缘（平环的外圆周）这一特点外，还有另一个特点──单侧，即不能用两种不同的颜色来涂满两个侧面。因此带交叉帽的球面也是单侧的。
带一个交叉帽的球面，就是投影平面（投影平面就是将单位圆的对径点粘合而得,见图5。由于对径点粘合，故阴影部分同胚于有一个洞的球面，而余下部分为麦比乌斯带）；带两个交叉帽的球面，通常叫做单侧双环面或克莱因瓶（见图6及见彩图）。
单侧曲面画出来都是要自己和自己相交的。
在众多的闭曲面中,球面显然是首先会被想到的,实际上，它可以作为构造其他的闭曲面的出发点。
为了从球面得到其他的闭曲面，先在球面上剪去几块，或者换一种说法,就是打些洞,然后再用适当的"补钉"将这些洞补上。当然，为了得到新的闭曲面，不能用刚剪下来的那种小圆片当"补钉"，而应换用其他类型的曲面。显然,如果用平环（如图1所示的阴影部分） 作为"补钉"来补（平环的外圆周和洞的边缘粘合），那么球面上的洞补好了，而平环本身的洞（内圆周）仍空着。为了补这个新出现的洞，显然只要把它和球面上另一个洞的边缘粘合即可。这样，用平环（它拓扑等价于圆柱面）这种"补钉"来补洞，一次就可将两个洞补好。也就是说，把圆柱面的上端圆周和球面上的一个洞的边缘(也是一个圆周)粘合，而把下端圆周和球面上的另一个洞的边缘粘合。图2为用这种办法修补后得到的闭曲面。这种曲面由于像给球面安了个柄,故称它为带有一个柄的球面。显然,我们可以往球面上安任意多个柄，这些具有不同数目的柄的球面，构成不同胚的闭曲面的"一半"。在介绍另"一半"之前，应注意到以上的闭曲面都是双侧的，即其中一侧可以涂一种颜色，而另一侧则可涂另一种颜色。
用平环这种"补钉"修补球面上的洞时，先是将外圆周和一个洞的边缘粘合，然后再将内圆周和另一个洞的边缘粘合。这样做的理由是因为最后要得到闭曲面。为了得到闭曲面，也可以直接将内圆周上的点，按粘合对径点(同一条直径上的两个端点)的方式把它封闭起来。这种先将内圆周沿对径点粘好的"补钉"，称为"交叉帽"，一个交叉帽可以补一个洞。带有任意多个交叉帽的球面，就构成另一半闭曲面。总而言之，任意一个闭曲面，它不是和一个安有若干个柄的球面同胚，就是和一个带有某些个交叉帽的球面同胚。
交叉帽是将平环的内圆周沿对径点粘合。现将平环沿AB和DE剪开（图3），得到ACDEF和A┡B┡C┡D┡E┡G 两块（这里A剪开成A和A┡,B、D、E，同此，但B和D是对径点应粘合,故B、B┡,D、D┡为同一点）。现将这两块沿BCD和D┡C┡B┡粘合。如图4，所示,在长方形中，两垂直边AE┡和A┡E沿标明方向粘合。这种将长方形的一对边,扭180°再粘合而得到的曲面叫做麦比乌斯带（见彩图）。因此交叉帽就是麦比乌斯带。它除了只有一个边缘（平环的外圆周）这一特点外，还有另一个特点──单侧，即不能用两种不同的颜色来涂满两个侧面。因此带交叉帽的球面也是单侧的。
带一个交叉帽的球面，就是投影平面（投影平面就是将单位圆的对径点粘合而得,见图5。由于对径点粘合，故阴影部分同胚于有一个洞的球面，而余下部分为麦比乌斯带）；带两个交叉帽的球面，通常叫做单侧双环面或克莱因瓶（见图6及见彩图）。
单侧曲面画出来都是要自己和自己相交的。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条