1) (H)-integral of vector valued-function
向量值函数的(H)积分
2) vector valued Riemann-Stieltjes integral
向量值函数R-S积分
3) vector-valued H-L maximal function
向量值H-L极大函数
4) the integration of p-adic variable real-valued function's necessary and sufficient condition
P-adic变量实值函数积分的充要条件
5) numerical integration of oscillating functions
振荡函数的数值积分
补充资料：向量值积分
普通（数值的）积分在向量值上的推广。在分析数学的各分支中，因不同的要求，需要种种或是向量值函数的积分或是关于向量值测度的积分。向量值函数的积分有黎曼-斯蒂尔杰斯型积分和勒贝格型积分。
黎曼－斯蒂尔杰斯型积分 常用的一种向量值积分。如果??（t）是定义在［α，b］上,但取"值"于拓扑线性空间L的函数,则称??(t)是［α,b］上向量值函数。设??(t)和g(t)分别是［α,b］上向量值和数值函数。任取[α,b]上分点组D：,作和式 其中令如果极限存在，则称??关于g在[α,b]上R-S可积，又称是??关于g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,简称R-S积分，记为。类似地,也可以引入。向量值R－S积分有许多类似于数值函数的R-S积分的性质。特别，有分部积分公式：如果中有一个存在，则另一个必存在，且。
下面几种向量值积分都属于勒贝格型的。
博赫纳积分 设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间（见测度论），φ(x)是定义在x上，取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果存在 (x,φ)的有限个互不相交的可测集A1, A2, ...，An，使φ在Ai(i=1,2,...,n)上的值恒为向量ei,而上的值恒为0，则称φ是(向量值)简单函数。如果存在 x上的一列简单函数 {φn(x)}，使得‖φn(x)-??(x)‖关于μ几乎处处收敛于0，则称??(x)是x上（取值于B）的强可测函数。强可测函数 ??(x)的范数‖??(x)‖必是x上的（数值）可测函数。如果φ是简单函数并且μ(Ai)<∞,那么称是φ的博赫纳积分,记为。设??(x)是x上向量值函数，如果存在一个可积的简单函数列{φn},使得,就称??是x上博赫纳可积的,并称是??在x上的博赫纳积分，记为,可以证明：对于博赫纳可积函数??,它的积分值(是向量)不依赖于{φn}的选取;??在x上是博赫纳可积的,当且仅当??是强可测的而且‖??(x)‖是 x上的数值可积函数。博赫纳积分具有一般测度论中积分的性质。
伯克霍夫积分 设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，{Ai}是x的一列互不相交的可测集,并且,称{Ai}是x的可列剖分。设??(x)是x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数,墹={Ai}是x的可列剖分，如果??在每个Ai上有界，并且是无条件收敛的，则称集的凸闭包是??(x)关于墹的积分值域，记为J(??,墹)。如果对任何ε>0，存在可列剖分墹(ε)，使集J(??，墹(ε))的直径小于ε，则称??在x上伯克霍夫可积,并称由一切可列剖分墹所得的J(??,墹)的交集(只有一个向量)为?? 在x上的伯克霍夫积分,记为。这种积分除富比尼定理外，具有通常勒贝格积分所具有的线性、可列可加性、绝对连续性等性质。博赫纳可积必然伯克霍夫可积（逆命题并不成立），并且两个积分相等。
更一般地，还可定义取值于具有某种拓扑结构半群上的积分，当取不同拓扑时，它可包含伯克霍夫积分和下面的积分。
盖尔范德意义下的弱*积分 设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间，??(x)是定义在x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果对每个g∈B*(B*是B的共轭空间)，g(??(x))是可测函数,则称??(x)在x上是弱可测的。在空间B是可分情况下,弱可测和强可测一致。如果对每个在x上是可积的,则必存在??**∈B,使得,称?? **是??(x)在 X上的盖尔范德意义下的弱*积分，记为。
佩蒂斯积分 或称弱积分。另一种常用的向量值积分。设(x,φ,μ)是全 σ有限测度空间，??(x)是x上取值于巴拿赫空间B的弱可测函数，如果存在b)∈B 使得对一切g∈B*成立,则称??在x上是佩蒂斯可积的，b)是??的佩蒂斯积分，记b)为。博赫纳可积必然佩蒂斯可积，并且积分相等。除去富比尼定理外，勒贝格积分的其他性质对于佩蒂斯积分也成立。
向量值测度和积分 设(x,φ)是可测空间,如果E是定义在φ上取值于巴拿赫空间 B的满足下列条件的向量值集函数：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性,对φ中任何一列互不相交的集{Ai}，
则称E 是φ上向量值测度。例如，如果(x,φ,μ)是全σ有限测度空间,??是x上取值于巴拿赫空间B的博赫纳可积函数，对任何A∈φ,定义,则E便是φ上取值于B的向量值测度。特别，当B是某个巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的有界线性算子全体按算子范数所成的巴拿赫空间时,就称E为φ上的算子值测度（见谱论、谱算子）。此外，和数值测度一样，也可引入一个向量值测度关于另一个数值测度绝对连续的概念。但一般说来没有拉东-尼科迪姆定理。但如果空间B或是自反，或是希尔伯特空间，或B的共轭空间B*是可分的,这时就有拉东-尼科迪姆定理。（见测度论）
黎曼－斯蒂尔杰斯型积分 常用的一种向量值积分。如果??（t）是定义在［α，b］上,但取"值"于拓扑线性空间L的函数,则称??(t)是［α,b］上向量值函数。设??(t)和g(t)分别是［α,b］上向量值和数值函数。任取[α,b]上分点组D：,作和式 其中令如果极限存在，则称??关于g在[α,b]上R-S可积，又称是??关于g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,简称R-S积分，记为。类似地,也可以引入。向量值R－S积分有许多类似于数值函数的R-S积分的性质。特别，有分部积分公式：如果中有一个存在，则另一个必存在，且。
下面几种向量值积分都属于勒贝格型的。
博赫纳积分 设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间（见测度论），φ(x)是定义在x上，取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果存在 (x,φ)的有限个互不相交的可测集A1, A2, ...，An，使φ在Ai(i=1,2,...,n)上的值恒为向量ei,而上的值恒为0，则称φ是(向量值)简单函数。如果存在 x上的一列简单函数 {φn(x)}，使得‖φn(x)-??(x)‖关于μ几乎处处收敛于0，则称??(x)是x上（取值于B）的强可测函数。强可测函数 ??(x)的范数‖??(x)‖必是x上的（数值）可测函数。如果φ是简单函数并且μ(Ai)<∞,那么称是φ的博赫纳积分,记为。设??(x)是x上向量值函数，如果存在一个可积的简单函数列{φn},使得,就称??是x上博赫纳可积的,并称是??在x上的博赫纳积分，记为,可以证明：对于博赫纳可积函数??,它的积分值(是向量)不依赖于{φn}的选取;??在x上是博赫纳可积的,当且仅当??是强可测的而且‖??(x)‖是 x上的数值可积函数。博赫纳积分具有一般测度论中积分的性质。
伯克霍夫积分 设(x，φ，μ)是全σ有限测度空间，{Ai}是x的一列互不相交的可测集,并且,称{Ai}是x的可列剖分。设??(x)是x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数,墹={Ai}是x的可列剖分，如果??在每个Ai上有界，并且是无条件收敛的，则称集的凸闭包是??(x)关于墹的积分值域，记为J(??,墹)。如果对任何ε>0，存在可列剖分墹(ε)，使集J(??，墹(ε))的直径小于ε，则称??在x上伯克霍夫可积,并称由一切可列剖分墹所得的J(??,墹)的交集(只有一个向量)为?? 在x上的伯克霍夫积分,记为。这种积分除富比尼定理外，具有通常勒贝格积分所具有的线性、可列可加性、绝对连续性等性质。博赫纳可积必然伯克霍夫可积（逆命题并不成立），并且两个积分相等。
更一般地，还可定义取值于具有某种拓扑结构半群上的积分，当取不同拓扑时，它可包含伯克霍夫积分和下面的积分。
盖尔范德意义下的弱*积分 设(x,φ,μ)是全σ有限测度空间，??(x)是定义在x上取值于巴拿赫空间B的向量值函数。如果对每个g∈B*(B*是B的共轭空间)，g(??(x))是可测函数,则称??(x)在x上是弱可测的。在空间B是可分情况下,弱可测和强可测一致。如果对每个在x上是可积的,则必存在??**∈B,使得,称?? **是??(x)在 X上的盖尔范德意义下的弱*积分，记为。
佩蒂斯积分 或称弱积分。另一种常用的向量值积分。设(x,φ,μ)是全 σ有限测度空间，??(x)是x上取值于巴拿赫空间B的弱可测函数，如果存在b)∈B 使得对一切g∈B*成立,则称??在x上是佩蒂斯可积的，b)是??的佩蒂斯积分，记b)为。博赫纳可积必然佩蒂斯可积，并且积分相等。除去富比尼定理外，勒贝格积分的其他性质对于佩蒂斯积分也成立。
向量值测度和积分 设(x,φ)是可测空间,如果E是定义在φ上取值于巴拿赫空间 B的满足下列条件的向量值集函数：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性,对φ中任何一列互不相交的集{Ai}，
则称E 是φ上向量值测度。例如，如果(x,φ,μ)是全σ有限测度空间,??是x上取值于巴拿赫空间B的博赫纳可积函数，对任何A∈φ,定义,则E便是φ上取值于B的向量值测度。特别，当B是某个巴拿赫空间（或希尔伯特空间）上的有界线性算子全体按算子范数所成的巴拿赫空间时,就称E为φ上的算子值测度（见谱论、谱算子）。此外，和数值测度一样，也可引入一个向量值测度关于另一个数值测度绝对连续的概念。但一般说来没有拉东-尼科迪姆定理。但如果空间B或是自反，或是希尔伯特空间，或B的共轭空间B*是可分的,这时就有拉东-尼科迪姆定理。（见测度论）
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条