补充资料：微分差分方程

    　　常微分方程是含有未知函数及其导数的方程，差分方程中含有未知函数及其差分，但不含有导数，微分差分方程是同时含有未知函数及其导数和差分的方程。它同时具有常微分方程与差分方程的特点，而以二者作为特殊情况。从历史发展看，微分差分方程的产生和发展并不是二者形式上的推广，而是来自许多不同学科的实际问题。
　　
　　对一个物理或技术系统，往往要考虑时间延迟的作用。例如在火箭控制理论中，燃烧室压力x(t)的运动方程为
　　，压力的变化率凧(t)不仅依赖于当时的压力x(t)，而且明显地依赖于过去的压力状况 x(t-τ)，τ称为时滞，它反映燃料从射入燃烧室加热到即将燃烧的临界状态需要一段时间。这个方程是一种简单的含常数偏差变元的微分方程。
　　
　　考虑多个时滞的微分差分方程
　　， (1)式中时滞h_k(k=1,2,...,m)为常数,如果这些常数全为正，称(1)为滞后型方程；如果全为负，称(1)为超前型方程。如果方程右端还有导数的滞后项称为中立型方程。对于高阶方程或者方程组也有类似的分类。
　　
　　20世纪30年代起对偏差变元微分方程进行了系统的研究。R.贝尔曼和K.L.库克(1963)，Л.Э.埃利斯戈尔茨(1964)总结了1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差变元微分方程放到函数空间来考虑，如(1)中的偏差满足条件，则(1)的右端可看为[t-h_m ,t]上函数x(·)的泛函，从而微分差分方程成为推动泛函微分方程发展的基本原型。微分差分方程特别是滞后型方程在物理学、力学、控制理论和技术以及生物学、经济学等领域有广泛的应用。
　　
　　初值问题 　滞后型方程(1)(其中)在时刻t₀的初值问题是在初值条件x(t)＝φ（t），-h_m≤t≤t₀之下求t>t₀的解x(t)。通过把这个问题化为常微分方程的分步法，可以讨论解的存在性、惟一性问题,并对简单的方程逐步求解。在区间t₀≤t≤t₀+h_m上等价的常微分方程初值问题为
　　。设??(t，x，y₁,...，y_m)在连续，且|??|≤M,φ(t)是区间[t₀-h_m ,t₀]上的连续函数,则在区间 上方程(1)存在满足初值条件 x(t)＝φ(t)，t₀－h_m≤t≤t₀的连续解x（t）呏x（t；t₀，φ）。若??(t,x,y₁,y₂,...,y_m)对 [-h_m ，0]上每个φ(t)，函数??（t,φ(t),φ(t-h₁),...,φ(t-h_m)）是连续的,且??关于x,y₁,y₂,...,y_n在 (t₀,φ(t₀)φ(t₀-h₁),...,φ(t₀-h_m)的小邻域内满足李普希茨条件(见常微分方程初值问题)，则上述解是惟一的,并且解关于初值函数φ是连续依赖的。用不动点定理（见不动点理论）和格朗瓦尔不等式可以证明上述存在性和惟一性。对于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函数φ(t)应是可微的。
　　
　　若?? 关于变量有足够多次的连续导数，滞后型方程(1)的解在向右开拓时,光滑度增加，若0₁₂<..._m，在(t₀+(j-1)h_m,t₀+jh_m)上连续,而在t₀+(j-1)h_m处一般有第一类间断；至于向t₀的左方开拓，即使是一阶方程也不一定可能。
　　
　　若(1)中时滞h_i为t的连续函数，0<τ≤h_i(t)≤r,τ，r为常数，以上的存在唯一性的结论仍然成立。
　　
　　线性微分差分系统 　设非齐次线性微分差分方程组为　， (2) 式中诸A_k(t),B_k(t)是连续的n×n阵,??(t)是连续的n维向量，h_k(k=0,1,...,m)是常数且0=h₀₁< ... _m。它和常微分方程一样,也有常数变易公式。设Y(α ,t)关于α(α ≤t+h_m)是(2)的伴随微分方程的矩阵解，即 满足初始条件Y(α,t)呏0,t<α ≤t+h_m;Y(t,t)呏I（恒等阵）,则方程(2)的具有连续可微初值函数的解x(t;t₀,φ)，可表示为 这是系统（2）的常数变易公式。若（2）是滞后方程，A_k(t)呏0(k=1,2,...,m),则(4)中关于A_k的和式不出现，也不要求φ(t)可微。
　　
　　设线性系统为只有一个时滞τ,而A,B为n×n常数阵。置方程detH(s)=0称为(5)的特征方程，它的根称为特征根，特征方程是超越方程，一般有无穷多个根，且全部在某一左半面上，即存在σ₀，使一切特征根s的实部小于σ₀,若??的增长速度不快于某一指数幂，即有с₁＞0，с₂＞0,,且??在[0,∞)上连续。对任意的初值函数φ(t)∈C ¹([-τ,0])，用拉普拉斯变换可以把(5)的解表示为， (6)式中с是充分大的实数；
　　
　　稳定性问题 　设x₀(t)=x(t;t₀,φ)是滞后型方程初值问题的解；若对任意的ε>0，存在 δ(ε,t₀)，当模 时,不等式成立，则称解x₀(t)关于E抝上的扰动为稳定的。由于 (7)的解不一定能向左开拓或只有单侧连续依赖性， 解x₀(t)可能关于E掲 上的扰动为稳定,而对某个,关于上的扰动不稳定。因此,方程(7)的解=x(t;t₀,φ)为稳定的是指：对任意 ε>0及任意的≥t₀，存在δ(ε,),使对任何连续解x(t),当时,成立|x(t)-x₀(t)|<ε，t≥。如果δ只同ε有关，则称x₀(t)是一致稳定的。如果在稳定的情况下，进一步有
　　， (8)则称x₀(t)为渐近稳定的。如果x₀(t)为一致稳定,且对任意η>0，存在δ₁(η)及T(η)>0，使当时,｜x(t)-x₀(t)｜<η,t≥t₀+T成立,则称x₀(t)为一致渐近稳定的。对中立型方程凧(t)=??(t,x(t),x(t-τ),凧(t-τ))的解x₀(t)的稳定性可类似定义，但在估计在E掲上的扰动时，要用一阶模
　　。
　　
　　若常系数线性系统 (9)的特征方程的一切根有负实部，则(9)的零解一致渐近稳定，这时存在M≥1,γ>0，使下式成立：, (10)若有正实部的特征根,则零解不稳定。系统(9)与对应的常微分方程 (11)在稳定性方面的关系如下：若(11)的零解渐近稳定，则对充分小的h_m,(9)的零解渐近稳定；若(11)至少有一特征根具正实部,则对充分小的h_m，(9)的零解不稳定；若(11)有单特征根零，其余特征根有负实部，则对充分小的h_m，(9)的零解稳定。
　　
　　因为特征方程的根都具有负实部的条件很难验证，特别当线性方程有变系数甚至是变时滞的偏差变元方程，特征根法就不适用，这时主要用李亚普诺夫直接法（见常微分方程运动稳定性理论）。
　　
　　若线性系统 (12)的零解一致渐近稳定，这时(10)成立。若， (13)式中，则摄动系统的零解一致渐近稳定。这个结论可以用李亚普诺夫方法得到。
　　

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