补充资料：一致收敛级数

一致收敛级数
uniformly-convergent series

一致收敛级数[恤西团闹y一e阅vergent series;paBHoMe-Poo exo皿:山，益e二P，及」 具有(一般地)复数项的函数级数 艺a。(x)，xox，(l) 月=l使得对任意￡>O，存在(与x无关)n:，对所有n>n:及所有x〔X， 15，(x)一s(x)l<。·其中 ‘。(x)一*万ta*(x)， s(x)=艺。*(x). k‘1换言之，部分和序列、。(x)是一致收敛序列.一致收敛级数的定义与下述条件等价: ·叭资鹭I:。(x)1一。，它表示级数(l)的余项序列 r。(x)=艺a*(x)，。一l，2，一， k=，一+1在x中一致收敛(uniform convergence)于零. 例.级数 于兰一。· 门三1儿!在复平面的每个有界圆盘上一致收敛，但在整个C上不一致收敛. 级数一致收敛的eal劝y准则(Cauchy criterion)给出了级数(1)在X中一致收敛的条件(不用级数的和).级数一致收敛的充分条件由weierstrass准则(关于一致收敛的)(Weierstrass etiterion(forUn-而rm conve华ence))给出. 级数艺篡，。。(x)称为在集合X中正则收敛(re-g山arly convergent)，如果存在收敛的数值级数艺:”(“，.)0)，使得对所有n=1，2，…及所有x〔x， }a。(x)}延“。，即(1)满足一致收敛Weierstrass准则的条件.这个准则较强的结果是，X中正则收敛级数在该集合中一致收敛.其逆一般不成立;然而，对X中一致收敛的任意级数，将其项逐次组合成为有限个组后所得级数，在X中正则收敛. 有些关于级数一致收敛的准则类似于数项级数收敛的Dirichiet准则及Abel准则.一致收敛的这些判别法，最先出现在G.H.Hardy的论文中.若级数 艺a。(x)b。(x)(2)中函数“.(x)与b。(x)(n二1，2，…)定义在x上，序列{“(x)}对每个x〔X单调，且在X中一致收敛于零，艺b。(二)的部分和序列{B，(:)}在x中一致有界，则(2)在这个集合中一致收敛. 若序列笼。。(;)}在X中一致有界，且对于每个固定的.、。x单调，级数艺b。(x)在x中一致收敛，则(2)也在X中一致收敛. 一致收敛级数的性质.若两个级数艺。。(幻，艺b，(、)在x中一致收敛，、，拜。c，则级数 艺又a。(x)+尸b。(x)也在X中一致收敛. 若级数艺。。(x)在x中一致收敛，b(x)在x中有界，则艺b(x)“。(二)也在x中一致收敛. 级数和的连续性(contilll五ty of the sum ofaseries).在函数级数和的研究中，也使用“一致收敛的点”这个概念.设X是拓扑空间，级数(l)在X中收敛.点x们已x称为(l)的一致收敛的点(pointoft山iform eonvergenee)，如果对任意￡>0，存在x。的一个邻域u一u(x。)及数。:，使得对所有x6U及所有月>n，不等式}:。(x)}<￡成立. 若X是紧集，则级数(1)在X中一致收敛的充要条件是每个点x任X都是一致收敛的点. 若X是拓扑空间，级数(l)在X中收敛，x〔〕是(l)的一致收敛的点，且有如下有限极限. 腼a。(义)=c。，n=I，2，…，则数值级数艺。:收敛，(l)的和、(x)当、~x。时有极限，同时 煦。“(x)一煦。a。(x)一艺c。·(3)即在对于(l)的假定下，可以按公式(3)的意义逐项取极限.由此得出，若(l)在X中收敛，且其项在一致收敛的点x06X连续，则它的和也在该点连续二 煦。“(x)一艺煦。a。(x)一艺a。(x。)一、(x‘，)· 因此，若连续函数的级数在拓扑空间中一致收敛，则它的和在该空间连续.当X是紧统且(1)的项在X中非负时，(l)的一致收敛也是和在X中连续性的必要条件(见肠城定理(D面t址”~)). 一般情况下，若级数(l)在拓扑空间X中收敛，且所有项均在X中连续，则级数(1)的和连续的充要条件是，部分和序列、。(x)伪一致收敛(qUasi-朋iform eonvergenee)于和s(x)(An笼拍一AneKeaH-江poB定理(Arzel么一Ale]侣andJ旧v theoreln)). 回答收敛函数级数(这些函数在一区间上连续)一致收敛的点存在性问题，是由osgood一Hobson定理(059仪心一Hobsonthe~)给出的:若(l)在区间【a，bl中每一点收敛，项a。(x)在【a，bl上连续，则存在[a，b]中级数(l)一致收敛的点的处处稠密集.由此得出，在某区间收敛的任何连续函数级数的和，在区间的一个稠密集上连续.与此同时，存在在区间中所有点都收敛的连续函数级数，其不一致收敛的点组成该区间中的一个处处稠密集. 一致收敛级数的逐项可积性.设X=【a，b].若级数 艺a。(x)，x。[“，占](4)的项在【a，b」上Riemarm(Lebesgue)可积，且(4)在该区间中一致收敛，则其和s(x)也在【“，b]上凡~(Lebesgue)可积，且对任意x《。，b]有等式 丁、(。)、:一丁。艺。。(。)IJ。一艺了。。(。)‘。.(5) “aa上式右端的级数在【a，b]上一致收敛. 定理中，(4)在【a，b]上一致收敛的条件不能用【a，b]上收敛代替，因为有这样的级数，尽管各项是连续函数且有连续和，它在一个区间上收敛，但(5)不成立.与此同时有了各种推广.下面一些结果是对stieltjes积分(Stieltjes integral)给出的. 若g(幻是[a，b]上的递增函数，“。(x)是与g(x)有关的可积函数，(4)在【a，b]上一致收敛，则(4)的和s(x)是与g(x)有关的Stieltjes可积函数， 丁:(:)己。(:)一艺丁。。(:)己。(。).上式右端级数在【a，b]上一致收敛‘ 公式(5)可推广到多变量函数.级数在一致收敛下逐项微分的条件.若(4)的项在【a，b]上连续可微，(4)在区间中某点收敛，(4)的各项导数的级数在「a，b]上一致收敛，则级数(4)本身在【“，b]上一致收敛，其和s(劝连续可微并且 二、(二卜一三丫。(二、一丫~二。_(二). aX aX一aX (6) 定理中，逐项微分所得级数在【a，b]上一致收敛的条件不能用收敛代替，因为存在连续可微函数的级数，它在一个区间上一致收敛，逐项微分得到的级数在区间上收敛，但是原级数的和在整个区间上或者不可微，或者虽可微但其导数不等于各项导数的级数之和. 这个方法要求级数有一致收敛的性质，许多方法要求绝对收敛(见绝对收敛级数(absolutefy eonver-罗11t series))，允许将关于有限和的一些运算法则移植到级数中:对于一致收敛—可逐项取极限，逐项积分和微分〔见(3)一(6))，对于绝对收敛—可以排列级数项的次序而不改变和，级数可逐项相乘. 对于函数级数，绝对收敛的性质与一致收敛的性质互相独立.如级数 导xZ 。局(l+x‘)”它的所有项非负，故在整个坐标轴上绝对收敛，而x二O显然不是一致收敛的点，因为它的和 fl+xZ，当*笋O， “Lx’一飞。，当x一“，在这一点不连续(尽管所有项都连续). 级数 瘩.传提子在整个实数轴上一致收敛，但在任何点不绝对收敛. 参考文献见级数(series). 月.口.Ky月p只B”es撰罗篙龄译

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