补充资料：奇异指数

奇异指数
singular exponents

　　奇异指数[‘卿山r巴，”印七;oeo6oe uo二魄皿]，线性常微分方程组的 由下式定义的量: “。(A)一。画、二六In‘，x(。，·)，，(上奇异指数(uP详r slng川ar exponent))以及 幻‘’‘A，一‘，黑二击h“、(。，·)}}(下奇异指数(1o腮s自lgu」ar exponent)，这里X(0，;)是方程组 交二注(r)x，x6Rn(1)的Ca侧出y算子(〔滋uchy opemtor)(即基本解(允n由-刀℃ntalsolution)或主解(pnncipalso」ution))，A(·)是一映射R千~Hom(R”，R”)，而在每个区间上可和. 奇异指数可以等于士旧;若对某个T>O有 了+7、 器丁{}、(:){}球;、+二(;，。则奇异指数是数 对常系数的方程组(l)(A(t)二A(0))，奇异指数几‘，(A)和。“(A)分别等于算子A(0)的本征值的最大与最小实部.对具有周期系数的方程组(1)(即有一T>0使对一切t任R，A(t+T)=A(t))，奇异指数Q“(A)和。。(A)分别等于乘子(multiPlie玲)绝对值的对数之最大与最小值除以周期界奇异指数有时也称为一般指数(罗11eml eXPonent)(见【4〕). 如果(l’)对某个T>O成立，则下面的定义与上面所述等价:奇异指数0。(A)等于这样的数比之集合的最大下界，对这种:，存在数C:>O使对方程组(l)的任意解x(t)护O，以下不等式成立: {x(夕)}簇C。e“(“一‘)}尤(丁)}对一切口):)0;奇异指数田。(A)等于这样的数刀之集合的最小上界，对这种刀，存在数C声>0使对方程组(1)的任意解x(t)笋0，以下不等式成立: }x(乡)})C，e介(口一’)卜(:)}对一切口);)0. 对于奇异指数和瓜n担。.特征指数(Lyapunovcha哪teristic exponent)，对每个T>O，不等式 t+T ，缪专丁}}，(·){}、·)。。(、))、、(、))一 扩‘+了 二)、_(通、)。。(，))一，如李f一}注(;)}}汉; 去‘R’‘t成立.对常系数和周期系数的线性方程组， 00(A)二又，(A)，田。(A)“又。(A)，但是存在这样的方程组，使这两式成为严格的不等式(见一致稳定性(unifo皿stability)). 奇异指数。“(A)(相应的，。”(A”作为形如(1)且有有界连续系数(即映射A(·)为连续的且suP，。R·}A(t){<十匀)的所有方程组所成的空间上之函数是上半连续的(相应为下半连续的)，但不处处连续;此空间中赋有度量 d(A，B)=suP}}注(t)一刀(r)l}. t‘R十 若映射A二R~Hom(R”，R”)一致连续，且 淤J{A(‘)J!<+‘，则移位动力系统(s恻tdynamieals”记m)(S=Hom(R”，Rn))有不变的规范化测度召、，产:集中在点A的轨道之闭包上，使得对(测度拜、意义下的)几乎所有A，方程组 交二A(t)x(2)的上奇异指数等于最大的(即第一个)瓜正妙即日特征指数 。o(万)=又，(万)，而对于(测度产:意义下的)几乎所有A，方程组(2)的下奇异指数等于最小的瓜侧月加特征指数 。。(万)一又。(万).对殆周期映射A(·)(见殆周期系数的线性微分方程组(位蓝釜比s声把In of diffe比nhal叫uations雨th alnx万t-讲nodic cocn记ients))，测度拜，和群:相同，即是此时存在的唯一的规范化不变测度，它集中在平移动力系统在点A的轨道之闭包上之限制之中，这时这个测度是存在的. 设在一个闭的n维光滑流形尸上的动力系统由一光滑向量场定义则对此动力系统存在规范化的不变测度产、和拜2，使得对于(测度拼;意义下的)几乎每一点x任V”，上奇异指数与沿x的轨道的变分方程组(即变分所适合的方程，线性化方程)的最大Jh卿HOB特征指数相同，而对(测度拜2意义下的)几乎每一点x6尸，下奇异指数与沿戈的轨道的变分方程组之最小瓜卿即B特征指数相同.奇异指数、瓜卿即B特征指数等的定义，对于定义在任一光滑流形上的光滑动力系统之变分方程组仍有意义.这种动力系统在一点义的轨道上的变分方程组，只要采用x轨道上每一点对俨的切空间之一个基就可以写成(l)的形状，这个基例如可以是由沪在x的切空间之某一基沿此轨道平行移动(在光滑R记叮以扭1度量诱导的Rierr以nn联络意义下的平行移动)而来.
　　

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