补充资料：摄动函数的展开问题

    　　在天体力学中，所有的分析方法都要对受摄运动方程进行积分，除个别情况外，在积分前，一般必须把摄动函数展开为时间以及所选择变量的显函数，这就是摄动函数的展开问题。这个问题是摄动理论中的基本课题之一。摄动函数展开式的收敛快慢，在一定程度上决定相应的摄动理论的使用效果。
　　
　　经典的展开方法是将摄动函数展开为幂级数和三角级数的混合级数，它又称泊松级数。以三体问题为例，摄动函数中包含被摄动天体和摄动天体的轨道要素和时间，而时间则隐含在天体的近点角内。在瞬时轨道为椭圆的情况下，摄动函数展开为两个天体的轨道半长径之比α=α/α ′、偏心率е、е′和两个轨道面交角I一半的正弦sin(I/2)的幂级数,以及平近点角和其他轨道要素(或有关辅助量)的三角级数。当α、е和е′接近于1以及I 较大时，展开式收敛得很慢，甚至不收敛。因此，摄动函数的展开问题实际上就是改进展开式的收敛性问题。二十世纪四十年代以后，不少人研究了各种改进方法。研究得最多的是α接近于1的情况。主要采用的方法有：①用复变函数的线性变换使奇点离变量的应用范围更远些，从而改进展开式的收敛性;②分出形式为(1-α²)^-s 的因子或有关项（s为正有理数）,再讨论其余项的展开，从而回避α接近于1时的困难；③以中间轨道的摄动函数展开式作为基础，在相应的改正项中只出现天体之间距离的正幂次项，因而不存在α接近于1的困难；④找出既适用于α<1，也适用于α>1的更一般的展开式，以便适用于投影相交轨道情况（如海王星和冥王星的轨道）。以上几种方法都处于试用阶段，但已取得很多成果。
　　
　　对于I较大时产生的困难，主要用两种办法解决:①不展开为sin(I/2)的幂级数,而展开为I的三角级数；②展开为cosI的幂级数。另外，不少人用两个天体的瞬时轨道对某惯性参考面的倾角i和i′来代替I。对于偏心率e和e′较大时产生的困难，虽然有一些解决办法,例如用e=sinφ、e′=sinφ′,把摄动函数展开为φ和φ′的三角级数，但效果仍不好，故这个困难依然存在。正因为如此，对于大偏心率轨道的摄动问题（如一些彗星、月球火箭等），还只能用数值方法进行研究。除上述困难外，当两个天体的瞬时轨道的平均角速度接近通约时，在积分受摄运动方程也会出现小分母的困难，这可用共振理论的方法解决。
　　

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