补充资料：Lie代数的扩张

Lie代数的扩张
extension of a Lie algebra

　　Lie代数的扩张〔e匆比OSion of a Lie al罗bll;，。口.p卜u“ea月re6p。兀.1，具有核摊的 比代数G连同核为理想ACG的满态射明G~S，其中S为一Lie代数.此定义等价于特指的一个正合序列 O~A~G三S~0. 若有子代数51仁G，使得G“S:eA(模的直和)，则称此扩张是分裂的(sPli‘)这时尹导出同构S;澎S，同时可用求导来定义S在A上的作用.反之，记L祀rA为A的求导代数，则任一同态‘S~L七rA可唯一地确定一个分裂扩张S田A，其乘法为 [(s，a)，(s‘，a’)1=(〔s，s’l，:(s)a‘一 一“(s‘)a+[a，a‘1).对O特征的域上有限维比代数成立L‘Vy定理(l芜.Vy th印~):当S半单时，则S的任何扩张是分裂的. 在所有非分裂扩张中.研究最多的是Abel扩张，即具有Abel核A的扩张.此时，G在A上的作用导出G/A兰S在A上的作用，即A是S模.对域上Lie代数S，任一以S模A作为核的Abel扩张均有形式SOA，其乘法由 【(s，a)，(s’，a’)」“(【s，s‘〕，:(s)a’一 一“(s‘)a+价(s，s‘))给出，这里价是某个线性映射S八S~A.为印bi等式等价于沪，是一个二维上闭链(或2上闭链，见Lie代数的上同调(印饭刃℃1呸妙ofLiealgebras)).由上同调的上闭链所决定的扩张在自然方式下等价.特别，一个扩张是分裂的当且仅当价上同调于零.所以具有核为A的代数s的Abel扩张均可由上同调群HZ(S，A)来描述.研究具有可解核的扩张可简化为研究Abel扩张的情形.
　　

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