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补充资料：边值问题，偏微分方程数值解法

边值问题，偏微分方程数值解法
oundary value problent, numerical methods for partial differential equaSHOE)

边值问颐，偏徽分方程数值解法【加明山叮初uep叻-lem、。umeri因meth.xls for pa币ai diffe比n柱目equa-ti姗月，留.田，劫.明，姗叨姗砚Mer卿职汕p口..，姗朋”》钾…丽e，a门旧‘IM一贝扣叱坦卿，曰M“」 近似解法，所得问题的解用数值表表示.边值间题的(用显式公式、级数等等表达的)精确解仅在极少情形可以建立.在近似解法中应用最广泛的是差分方法(见【lj);它们可应用于最一般的问题且在电子计算机上实现很方便差分方法的本质在于将自变量变化的原来区域用离散的点集—网格来代替，而在方程和边界条件中出现的导数用在此网格点上的差商来秋替，由此原问题就化为有限个(线性的或非线性的)代数方程的组，称之为差分格式‘差分格式的解就取作原间题的近似解，近似解的精确度依赖于逼近方法和网格的精细，即依赖于网格点充满原来的区域的稠密程度下面将只考虑偏微分方程的线性边值问题，而且原问题假定是适定的为了证明差分方法是正确的，就得研究差分问题的适定性和当网格缩小时它的收敛性.差分问题称作适定的(wen~1力sed)，如果对任意的右端它的解都存在、唯一且稳定.差分格式的稳定性理解为它的解连续地依赖于右端，且关于网格步长是一致的. 例如，在具有边界f的正方域G二{o<、。‘0.(x二x，)任G at ax予ax圣”一’、一”‘’，一 u(xl，xZ，0)=uo(xl，xZ): u(xl，xZ，t)=0(xl，xZ)任F-为了解这个问题，给出具有时间步长为T>0的网格 峡二{t。=”下。=0，l，.，.}和空间变量的网格G*.设衅了一。(对。，x尸，‘).导数州用下面的关系式逼近: “夕.+l一“夕 “，，，=一， 7而La动a优算子用差分算子戊逼近.原来的方程(2)成为对应的差分格式: 少，，，，，=“(△砂)2犷’+(l一“X△砂)之，: 少只，=u。(xl，，，x夕，)，;，了=1，…，N一: 少哭J!一0. I几只叭方程中的参数口决定着格式的稳定性和精确度.如果。)0.5，那么格式(3)对任意的网格步长:和h是稳定的(绝对稳定的差分格式).如果汀<0.5，那么格式(3)在量下=咖2的某一限制下是稳定的(条件稳定的差分格式);例如，显式格式(。=0)当下(1/4时是稳定的.当a=0.5时格式关于T和h有二阶精确度，对其余的，则关于:有一阶精确度，关于h有二阶精确度.差分问题(3)“分层”来解.第n层是对某个固定的n，网格G*x叭的所有点的集合.第零层(当。=0时)的值又愁由初始条件给出·如果已知某一层的值yi几，那么下一层的只，，=扩丁’的值由下列方程组求出: y，，，一州△^y)卜，=尺，，l，J=l，…，N一1， y，，了}r。一0，其中 几=少匀+(l一。减勺)2j·为了求问题(4)的解，可以利用定常问题(l)的解法中的任一个.然而，存在解多维非定常边值问题的更经济的算法，即交替方向法(见〔11一【5])，它把解多维间题化为解一系列的一维间题.因此，为了解热传导方程，可以利用下面的交替方向格式: 之共牛应·、刃/2十A，，， 0.5了一/‘，j一v‘，j’ 少犷’一少犷’/2_‘__.+、/2.‘一。十， 怂‘成子一-=A武广’/z+A试广’. 0.5了一lj‘，j一，‘，j这个格式绝对稳定，有二阶精确度，并通过一系列的一维差分算子的反演来解. 差分问题的解，即使如果它是精确求得的，也可以不仅在定量上而且在定性上与原微分方程问题的解不样.这个差别，在处理系数或解本身具有奇性的方程时，显得特别突出(因此，在计算气体动力学方程组的间断解时通常出现间断的强“溢出”区).这样，当用具有很大程度任意性的差商代替导数时，用差分直接逼近微分问题并不总是可以导出好的差分格式.为了建立具有良好性质的差分格式，发展了各种不同的原理.在有成效的方法中有平衡法和变分泛函逼近法(见川一13]).由这些方法所得到的差分格式正确地反映了积分守恒法则，这些法则对原方程是成立的，并保证对应的差分算子定号.在齐次差分格式理论(见【7J)中对具有变系数(包括间断系数)的方程考虑了建立和研究差分格式收敛性的问题.【补注】在西方文献中边值问题如果包含有时间变量(例如本节问题(2))、则常称为初边值间题(initia一boimdaryvalue problems).关于偏微分方程数值解的文献多得不可胜数，下面只列举少数几本好的教科书.参考定献!AS]和[AS]仅讨论初边值问题.

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