补充资料：可分扩张

可分扩张
separable extension

　　可分扩张fse钾段ble ex妇‘佣;cenap沥e翻Oe pac姗-碘H“eJ，域k的 一个扩张K压，使得对某个自然数n，域K与k护一”在k上是线性无缘的(见线性无缘扩张(11.例」y-disjoint exlensions).不是可分扩张的扩张称作不可分扩张(咄palableex姗ion).此处p是k的特征.在特征0的情形，所有扩张都是可分的. 以下仅考虑代数扩张(关于超越可分扩张见超越扩张(transcendentalextension〕).一个扩张是可分的，当且仅当迹(tn、Ce)映射Tr几K~k是非零函数.一个代数扩张是可分的，如果它的任一有限子扩张是可分的. 可分扩张构成扩张的特异类(曲血gu灼hed cl出滔ofcx比nsions).即、在域塔(to撇of fields)L，K”k中，扩张L/k是可分的当且仅当乙/K和K/k都是可分的;如果K./k和凡/人是可分扩张.则K，尺2厂火也是;对任一可分扩张K阵和任意扩张乙/k，扩张KL/L还是可分的.一个扩张K/k是可分的，当且仅当容许有一个到G司沁污扩张(Galois exten-sion)的嵌人.此时，对于有限扩张K/k，K到L中的不同的k同构的个数与扩张次数〔K:胡相同.任一有限可分扩张是单扩张. 一个多项式了日kfx】称作在k上是可分的(sep-a毗le)，如果它的任一不可约因子在k的代数闭包中没有重根.一个代数元“称作(在k上)可分的(sep-axable)，如果它是k上的一个可分多项式的根.否则称“为不可分的(毗p附b1e〕.一个元素“称作在k上是纯不可分的(Pl皿fy inseP姗b七)，如果对于某个”有砂”‘人.一个不可约多项式f(x)是不可分的，当且仅当它的导数f’(x)恒等于零(这仅在k的特征为p且.f(x)二f、(尹)时才可能).任一不可约多项式f(:)可唯一地表成f(习=。(尸‘)的形状，其中g(x)是可分多项式;g(义)的次数和数e分别称作f(x)的约化次数(redu以对degl代)和指数(ind‘ex). 设L了火是任一代数扩张.L中在k上可分元素的全体组成一个域K，它是含于L中的k的极大的可分扩张K.此域K称作k在L中的可分闭包(sePa份比cl璐眠)，次数!K:k]称作L/k的可分次数(s叩a必ble*g即)，同时次数[L:K〕称作手可分水熬(insePata-bledeg戏)或不可分件的咨攀(deg溉of’nseParabili-ty).不可分次数等于p=由ark的某个方幕.如果K二k，则称k在L中是可分封闭的(separdbly由-初).在这种情形下，扩张L/k称作孕不可分的(p眠ly吮epalable).一个扩张K/k是纯不可分的，当且仅当‘c= kp一‘=U儿p一”，即K中的任一元素在k上都是纯不可分的.域k上的纯不可分扩张构成扩张的特异类.如果一个扩张KZk同时是可分的和纯不可分的，则K=k.参考文献参见域扩张(e扣比邝ion of a field) 几.B.K界~撰赵春来译
　　

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