补充资料：共变微分法

共变微分法
covariant differentiation

这里义(t)是具有初始条件戈(0)二p的向量场X的积分曲线人一l的点，妹和认{r，分别是U在p和双t)的局部〔值)，而T，’州耐是认，，沿溉从二(t)到p的平行移动的结果.因此，在张量场U沿向量场见的共变导数的定义背后的基本想法是由于U。和认〔白之间没有自然的关系，这是因为它们属于M上张量丛不同的纤维，即它们在M的不同的切空间不M和Tx。)阿上的张量空间爪厂之中;于是就用叭经刃(不M)与U、、〔叮(天(t)M)沿人平行移动到刃(孔何)的象之间的差作为U的“增量”;然后按通常方式取这个“增量”对自变量t的增量之比的极限.特别是，如果对p附近的点x(t)，场U是张量矶沿下、平行移动得到的，那么(汤U);二0，因而，一般地，U在P沿X的共变导数确定了U和矶沿许平行移动而得的结果之差沿冷的初始速率.对无指标的张量场，即对M卜可微函数环一中的函数f， ‘，，‘一1、一且丝业之一立通 (叭八)嗯一代一“~，这就推出(讯户，‘J了沿向量戈的导数养了是恒等的·当X。二0时，按定义，对任何张量场U有(甲*U)，:二0. 引入了共变导数，就能够将一个张量场U沿一条光滑曲线下(r)的典变微分(covariant differential)DU定义为 (。。，.礴‘，·}二、了‘U{‘))‘，它司以看成点沿移动一个无穷小线段内二于(0)dt时(在前述意义匕)史的“增量”的线性主部. 知道一r(厂，、尸料张量场U在每一点p〔M沿每一个向量场X的沐U就能够对U引人:l)共变微分场Dv.作为取值于模r(M)的张量1形式，在X的向量上由公式(DU)〔X)=V，U定义;2)共变导数场甲U，作为(r，s十1)型的张量场，它规范地对应于形式DU并按公J弋 (甲乙)(口.，.‘;X 1.，戈，X)二 ‘万J厂丫创。厂:万}，二，戈)作用在1形式洲和!句量若上.就共变微分来说，通常指的不是1形式D〔本身，而是它在向量X的值，按这种解释，(DU)X也转变成一个(r，s)型的张量场，特别是它在p二下(())和x二:时的值就和上面引人的沿曲线，/(t)的一共变微分(D。((、相同·共变导数7U有时称为咚早U的梯度(gradle，It of a tensor)或导数，共变微分. 如果丫是局部坐标，e，二己日x{，表示对应的向量场空间的基，。

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