什么是曲线积分？？

先看一个例子：设有一曲线形构件占xoy面上的一段曲线 ，设构件的质量分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在l上且在l上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρs求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;l是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

定义：

设l为xoy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在l上有界，在l上任意插入一点列m1,m2,m3…,mn 把l 分成 n个小弧段δli的长度为ds，又mi(x,y)是l上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与l的分法及mi在l的取法无关，则称极限值为f(x,y)在l上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，l叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

曲线积分的类别：

曲线积分分为：对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对l的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p（x,y）dx+q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

两种曲面积分的联系：

对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;

或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。