1) supersymmetric invariant bilinear form
超对称不变双线性型
2) a symmetric invariant non-degenerate bilinear form
对称不变双线性型
1.
We give the characteristic properties of a class of lie algebras with a symmetric invariant non-degenerate bilinear form and a sufficient condition.
给出了一类带有非退化对称不变双线性型及对称自对偶李代数的分解唯一性的一个充分条件,并讨论此类李代数的特殊性质。
3) invariant symmetric bilinear form
不变对称双线性型
1.
In this paper,the author first gave a standard invariant symmetric bilinear form ψ1 of B,and then obtained that any invariant symmetric bilinear form of B is a multiple of ψ1.
本文给出了B的一个标准不变对称双线性型1ψ,并通过计算得到,李代数B的不变对称双线性型都是ψ1的常数倍。
4) symmetric invariant Non-degenerate bilinear from
非退化对称不变双线性型
6) antisymmetric bilinear form
反对称双线性型
补充资料：线性型
又称线性函数或线性齐式，是域F上的线性空间V到域F上的一个线性映射。如果??是从V到F的映射,对V的向量尣、y，F的元素α、b满足??(α尣+by=α??(尣)+b??(y),那么??就称为V上的线性型或线性映射。若e1，e2，...，en是V 的一组基，则V 的每一个向量尣 都可表成
,式中xi在F中，i=1,2,...,n。因此对于V上的线性型?? 有或记成 ,式中记??(ej)=αj,i=1,2,...,n。若x 视为V 中的变元,则x1,x2，...,xn就可看作取值于F 的变元。因此，在基{e1,e2,...,en}之下，线性型??就是F上n个变元的线性齐次函数。当V的基取定时，??就由Fn的一个n元向量(α1,α2,...,αn)惟一确定。 V上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成F上的一个线性空间，且与Fn同构。
如果V1、V2都是F上的线性空间， 是V1与V2的笛卡儿积,从V1×V2到F的映射φ，对于V1的向量尣，尣1，尣2；V2 的向量y，y1，y2；F的元素α1，α2，b1，b2，满足
那么φ称为V1与V2上（或V1×V2上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e1,e2，...,em与??1，??2，...，??n分别为V1与V2的基,，则式中在F中，由此可知,φ由矩阵A惟一确定，且可视为F上的两组变元x1，x2,...,xm与y1，y2，...,yn的双线性齐次函数。在V1与V2的基都选定时，V1×V2上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个F上的mn维线性空间，且与Fm×n同构。当V1与V2的基都改变时，V1×V2上的双线性型φ对应的矩阵，就变成由相应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，这里p和Q分别为F上的m阶和n阶方阵,由坐标变换公式:
可得
因此，B=pAQT,式中。j=1,2,...,m;k=1,2,...,n。对于V1与V2的任意基,φ所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 φ的秩，记为rankφ。当rankφ=r时，φ的标准形式（即在V1与V2的某基下φ的最简单形式）为
， (1)此即表明,对两组旧变元x1,x2,...，xm与y1,y2,...，yn，总可经满秩的线性变换,使φ对两组新变元x媹,x崉,...,x怬与y媹，y崉，...，y怽取(1)的形式。
在V1=V2=V时，若双线性型φ对于V的任意向量尣、y有φ(尣,y)=φ(y,尣),则φ称为对称双线性型;若有φ(尣,y)=-φ(y,尣)，则φ称为反对称双线性型。当V的基取定时,对称双线性型所对应的矩阵 A必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当V的基改变时,对称双线性型对应的矩阵A变为它的合同矩阵B=pApT，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，F=实数域 R,于是,每个实对称双线性型在正交变换（即 p为正交矩阵）下都可化为实正交标准型，式中λ1,λ2,...,λr是φ在任意基下对应的矩阵A的全体非零特征值。在复数域 C上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。
域F上的k个线性空间 V1，V2，...，Vk的笛卡儿积，按通常的向量加法和纯量乘法成为 F上的一个线性空间，若，若对j=1,2,...,k满足
式中尣l∈Vl,l=1,2,...,k;尣徾∈Vj,α、b∈F, 则φ称为V1×V2×...×Vk上的k重线性型或k重线性映射。当k≥3时统称为多重线性型。
域F上的线性空间V的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法,是F上的一个线性空间,记为V*。V*称为V的对偶空间，又称为V的关联空间或共轭空间。可以证明,当diтV是有限时,则diтV=diтV*。因此,V≌V*。这一结果在diт V是无限时不再成立。如果V的基{ej}与V*的基 式中δjk为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。
若在域F上的k个线性空间V1，V2，...，Vk中,一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。
,式中xi在F中，i=1,2,...,n。因此对于V上的线性型?? 有或记成 ,式中记??(ej)=αj,i=1,2,...,n。若x 视为V 中的变元,则x1,x2，...,xn就可看作取值于F 的变元。因此，在基{e1,e2,...,en}之下，线性型??就是F上n个变元的线性齐次函数。当V的基取定时，??就由Fn的一个n元向量(α1,α2,...,αn)惟一确定。 V上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成F上的一个线性空间，且与Fn同构。
如果V1、V2都是F上的线性空间， 是V1与V2的笛卡儿积,从V1×V2到F的映射φ，对于V1的向量尣，尣1，尣2；V2 的向量y，y1，y2；F的元素α1，α2，b1，b2，满足
那么φ称为V1与V2上（或V1×V2上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e1,e2，...,em与??1，??2，...，??n分别为V1与V2的基,，则式中在F中，由此可知,φ由矩阵A惟一确定，且可视为F上的两组变元x1，x2,...,xm与y1，y2，...,yn的双线性齐次函数。在V1与V2的基都选定时，V1×V2上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个F上的mn维线性空间，且与Fm×n同构。当V1与V2的基都改变时，V1×V2上的双线性型φ对应的矩阵，就变成由相应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，这里p和Q分别为F上的m阶和n阶方阵,由坐标变换公式:
可得
因此，B=pAQT,式中。j=1,2,...,m;k=1,2,...,n。对于V1与V2的任意基,φ所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 φ的秩，记为rankφ。当rankφ=r时，φ的标准形式（即在V1与V2的某基下φ的最简单形式）为
， (1)此即表明,对两组旧变元x1,x2,...，xm与y1,y2,...，yn，总可经满秩的线性变换,使φ对两组新变元x媹,x崉,...,x怬与y媹，y崉，...，y怽取(1)的形式。
在V1=V2=V时，若双线性型φ对于V的任意向量尣、y有φ(尣,y)=φ(y,尣),则φ称为对称双线性型;若有φ(尣,y)=-φ(y,尣)，则φ称为反对称双线性型。当V的基取定时,对称双线性型所对应的矩阵 A必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当V的基改变时,对称双线性型对应的矩阵A变为它的合同矩阵B=pApT，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，F=实数域 R,于是,每个实对称双线性型在正交变换（即 p为正交矩阵）下都可化为实正交标准型，式中λ1,λ2,...,λr是φ在任意基下对应的矩阵A的全体非零特征值。在复数域 C上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。
域F上的k个线性空间 V1，V2，...，Vk的笛卡儿积，按通常的向量加法和纯量乘法成为 F上的一个线性空间，若，若对j=1,2,...,k满足
式中尣l∈Vl,l=1,2,...,k;尣徾∈Vj,α、b∈F, 则φ称为V1×V2×...×Vk上的k重线性型或k重线性映射。当k≥3时统称为多重线性型。
域F上的线性空间V的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法,是F上的一个线性空间,记为V*。V*称为V的对偶空间，又称为V的关联空间或共轭空间。可以证明,当diтV是有限时,则diтV=diтV*。因此,V≌V*。这一结果在diт V是无限时不再成立。如果V的基{ej}与V*的基 式中δjk为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。
若在域F上的k个线性空间V1，V2，...，Vk中,一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条