补充资料：模群

模群
modular group

模群[n洲测匕邵议甲;MO月y几，p。朋rpy，。a] 所有形如 az+b Z~y《Z，二—，口口一OC=l气1) CZ十a的分式线性变换下组成的群r，这里a，b，c，d是有理整数.模群可以和商群sLZ(z)/{士E}等同起来，这里 。_了10、 E=l久丫】， 一火01/’且模群是玫群(Liegro叩)PSLZ(R)“SL:(R)/{土引中的一个离散子群(disa℃tesub脚uP)这里SLZ(R)( SLZ(Z))是由矩阵 了。b、 长“d/作成的群，其中a，b，c，d为实数(整数)，而ad一bc二1.模群是上半复平面H={:二x十iy:y>0}(有时称为月。民t”eBCK戒平面(助bache话kii phne)或Poin。屁上半平面(Poin口正uPper ha】印h朋”的离散变换群(曲峨记g旧uP ofti习斑场~tions)，且有由生成元T:z~艺十1，S::~一1/:和关系式夕=(ST)，=l给出的表现，也就是说，它是由S生成的2阶循环群和由ST生成的3阶循环群的自由积(见[2」). 对模群的兴趣与模函数(m记川ar fuJlction)的研究有关，模函数的R胶匀田”.曲面(R七~surface)是商空间H/r，它与模群的基本区域G等同.其紧化Xr二(H/r)口的与复射影直线解析同构，这里的同构由基本模函数J(z)给出.基本区域G有有限的月〔石a”eB以浦面积: J厂’dxd，一晋， G这就是说，模群是第一类F回‘群(Fucl犯助孚。印)(见汇3]).对于格L二Z+Z:(:任H)来说，格L、二Z十27(:)等价于L，这里 ，一子“倪、。r， \“dZ也就是说，LI可以通过用一个非零复数又二(cz+d)一’乘以L中的元素来得到. 对每个格有一个复环面C/L与之对应，它解析等价于一条非奇异的三次曲线(一条椭圆曲线(翻pUcCurve)).这就给出商空间H/r的点、格的等价类以及(解析)等价的椭圆曲线类之间的一个一一对应(见【3」). 研究模群的子群在模形式和代数曲线的理论中是有意义的(见代数曲线(algeb献~);模形式(mod，ukir form”·水于〔lewt)N)’的丰回伞矛群(principlecongruellCe subgrouP)T(N)，N是一个整数，是形如(1)的变换下(:)作成的群，其中a王d三l(modN)，。三b三。(modN).如果对某个N有了，r(N)，则子群fcr称为一个同余子群(collglellCe subgo叩)，满足条件的最小的N称为了的水平(level).水平N的同余子群的例子如下:c被N整除时变换(l)作成的群r。

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