补充资料：泛包络代数

泛包络代数
universal enveloping algebra

泛包络代数[切滋ver斌娜d伪户龟习酬n;y。“，pc叭‘。a，o6ep几，Ba，tU，幼re6pa]，交换环人上L记代数9的含单位元的 含单位元的结合k代数U(g)，连同映射。:g，U(g)，使得下列性质成立二1)辽是疏代数的同态，即a是k线性的，并且。(【x，y])“。(x)“(夕)一。(夕)J(x)，x，夕‘g:2)对每个具有单位元的结合介代数注和每个使得:(【x，夕」)=“(x):(夕)一“(y)，(x)(x，夕‘g)成立的k线性映射，:g~A，存在唯一的结合代数同态户U(g)~A，使得仪一刀(>a，井将单位元映到单位元.泛包络代数在同构下是唯一的，并且总是存在的:若T(g)是k模g的张量代数(把璐oral罗bra)，I是由所有形如【x，川一义⑧y+夕⑧x(x，y钊)的元素生成的双边理想，民g一T(q)/I是典范映射，则T(g)/I是g的泛包络代数. 若k是Nocther白勺，并且模g是有限阶的，则代数口(g)是左和右Nocther的.若g是整环k上的自由模，则U(g)没有零因子.对域k上的任何有限维L记代数马，代数U(g)满足0比条件(见半群的嵌入(而坟月ding of sonl一gro叩s))，因而有一个分式除环. 若V是任意k模，则每个Lie代数同态g~EndV可扩充为结合代数的同态U(g)~End V.这建立了g模范畴和左U(g)模范畴的一个同构.这一同构的存在性构成泛包络代数在赚代数表示论中应用的基础(见〔3]，【4』). Lie代数g;，…，g。的直积的泛包络代数是代数U(q。)的张量积.若b是g的子代数，勺和g/b是自由k模，则典范同态U(勺)~U(g)是嵌人.若k‘是域k的扩张，则U(g⑧*k’)=U(g)⑧*k‘.泛包络代数有一个典范滤过U。(g)C Ul(幻C=一，这里U。(g)=k·l，当n>0时，U。(g)是U(q)的由积。(x;)二汀(x。)生成的k子模，这里m蕊。，对所有i，x，‘9.同这一滤过相伴的分次代数grU(g)是交换的，并且由自然同态g~grU(g)下的象所生成;这个映射确定了k模g的对称代数(s梦nr叱川c al罗bra)S(g)到gu(g)上的一个同态占.根据Poin。此一Birkhoff一Witt定理(Poin-献一Birkhoff一Witt俪~)，当。是自函飞模时，尔S(g)~grU(g)是代数同构.以下是一个等价形式:若I是一个全序集，遥x，少。，是k模g的一组基，则单项式叮(x.)…a(x:。)(i。簇…镇i。，”)0)构成k模U(g)的一组基(特别地，6是单射). 设Z(g)是U(g)的中心，则对特征为零的域上的任何有限维Lie代数g，grZ(g)CgrU(g)=S(g)由S(g)的G不变元子代数组成.若q是半单的，则Z(乌)是在rkg个变量上的多项式代数. 泛包络代数的一个重要研究方向是研究本原理想(primitiwi山汾1)(见【31).

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