补充资料：非标准模型

    　　简单地说就是与自然模型（或称标准模型、期望模型）不同构的模型。设L为一阶语言(见模型论)，从原则上讲，任何由L中的语句（即不含自由个体变元的公式）组成的集合均可称为语言L上的一阶理论（或称初等理论）。但是这样定义的理论往往没有什么意义，甚至可能是矛盾的。有意义的理论通常采用以下两种方法来定义：先选定L的一个模型(亦称L的一个实现。有时也可以反过来，先选定，再确定相应的语言L)。然后,①在L中选出有穷或无穷条在上为真的语句,组成集合T;在证明论或元数学的研究中,往往假定T是递归的。这样的T 或其演绎闭包就是模型的一个理论。在证明论或元数学的研究中往往希望T的演绎闭包包含 L中一切在上为真的语句,亦即T是完备的。但这并不是经常都能办到的。已知当 为实数域R时只要在相应的语言L_r中适当地选择一个递归的理论T_r（如实闭有序域的公理系统）,则T_r就是R的一个完备理论。但当是自然数算术模型时，由哥德尔不完备性定理，在相应的语言L_n中就找不到完备的递归理论，它以为模型，在后一情形通常有熟知的皮亚诺公理系统PA，它由有限条刻画数"0"和求后继数运算 "，"的公理以及加法运算"+"和乘法运算 "·"的递归定义连同一条数学归纳公理模式组成。PA当然也是不完备的。②令T=Th()，这里Th()表示由 L中一切在上为真的语句组成的集合。显然，如此定义的T是完备的。
　　
　　在上述两种情况下，只要模型是无穷的，利用紧致性定理，均可找到相应理论T的非标准模型,亦即与不同构的模型B，使得B也是T的模型。最先发现这一事实的是A.T.斯科朗。早在1934年斯科朗就构造了完备算术理论Th()的一个非标准模型。他采用的方法就是后来为J.罗斯于50年代重新发现的模型的超积的特殊情形即超幂的构作方法。
　　
　　大致说来，在情形①，只要无穷，总可利用紧致性定理造出理论T的非标准模型。在情形②,总可以利用超幂构作法求得理论Th()的一个非标准模型，而且后者是模型的初等扩充。
　　
　　非标准模型虽然不是人们所期望的，但是它们有时却有着非常重要的应用。开发理论的非标准模型以求得对自然模型（即人们所真正关心的模型）的性质的了解或对理论本身性质的了解的学问被J.L.贝尔和M.麦克弗称作"非标准分析"。举例如下：
　　
　　① C.赖尔-纳尔德泽夫斯基在1952年利用上述皮亚诺算术理论PA的非标准模型证明了PA不可有穷公理化，亦即PA中的数学归纳公理模式不能用有限条特例代替。
　　
　　② A. 鲁宾孙在1961年前后利用上述非标准分析方法开发完全理论Th(R)的非标准模型,为古典数学分析中的"无穷小量"和"无穷大量"方法提供了坚固和严格的基础，甚至形成了一门新兴的学科，称为"非标准分析"，更确切地说应做"非标准数学分析"。
　　
　　③近年来不少逻辑工作者用算术的非标准模型来给出数学命题的独立性（即形式不可判定性）证明，其中最著名的是J.帕里斯和L.哈林顿。他们利用皮亚诺算术的非标准模型证明了，图论中的一个命题也就是拉姆齐定理的一个加强形式在皮亚诺算术中是形式不可判定的，因而给出了哥德尔在1931年得到的著名的不完备性定理的一个语义证明(哥德尔本人给出的证明是语法的)。此外，与哥德尔给出的人为的不可判定命题相比，帕里斯和哈林顿所得的不可判定命题是有着深刻数学意义的命题。
　　

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