补充资料：幺半群

幺半群
monoid

　　么半群[价叮幻记;M000呱I 短语“带单位元的半群(s恻一gro叩)”的缩略语.因此，一个么半群是带有一个结合二元运算的集合M，该运算通常称为乘法(mtdti plication)，且M包含一个元素e，使得对任意x〔M有ex=x二xe.元素e称为单位元(jdentjty)(或单位(二t”，通常记作1.任意么半群中恰有一个单位元.如果给定的么半群中的运算是交换的，则常常称之为加法(addition)，而单位元就称为零元(Zer。)，记作0. 么半群的例子.1)任意一个集合S到自身的全体映射构成的集合，关于映射相继作用(复合)的运算成为一个么半群.恒等映射是其单位元.2)泛代数(~ala】gebnl)A的自同态的集合，关于复合构成一个么半群;恒等同态是其单位元.3)每个群(gro叩)都是么半群. 每个不带单位元的半群P可嵌人一个么半群.这只需取一不在尸中的符号l，在集合尸日{l}上定义一个乘法如下:1·1二1，1·x=x二义·1，对任意戈〔尸，而对于P中的元素运算照旧.每个么半群可表示成某个泛代数的全体自同态的么半群. 任一么半群还可以视为只有一个对象的一个范畴(田沈gory).这使得每个么半群M可与它的一个对偶(相反的、伴随的)么半群M叩相联系.两个么半群的元素集合相等，但MOp中x和y的乘积等于M中的乘积yx. 么半群和伴随函子理论的建立在所谓单项范畴(Inonoidal cate即由)中显示出么半群定义的效用.假设给定一个范畴叭，它具有一个二变项函子Q:珊x叭~皿，一个对象z以及满足凝聚条件的自然同构 :，，。:(A⑧B)。C~AO(B因C)， 又月二Z因A一A，p，二A因Z~A.范畴鱿中一个对象M称为一个么半群，如果存在态射厂MQM~M和￡:Z一M使得下面的图表交换:__ (对⑧材)②M上竺址MoM4M :、、、奋}l M因(M⑧M)一MOM一M l“⑧拜召z⑧材竺曳M②M华竺二M⑧z .\飞\、{/百/了 M如果叭取为集合的范畴(sets，。记即卿of)，Q为Ik，习劝留积(〔达d巴恤P拍duct)，Z是一个单点集，而同构:，又和p选取为自然的方式(，((a，b)，c)=(a，(b，c))，元(艺，a)二a=P(a，z))，那么么半群的第二种定义与原来的定义等价.【补注】关于单项范畴，特别是同构“，Bc，又，必须满足的凝聚条件(coheren此conditio二)，见【1]第七章，l一2节.王杰译石生明校
　　

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