补充资料：上同伦群

上同伦群
cohomotopy group

　　上同伦群〔叻叨以比pyg阴p~盯.祥欧K职明皿l 一维L_同调群的一种推广;在某种意义下，是同伦群(h。:notopy grouP)的对偶概念. 设;”(X)二IXS”}为由带基点空间X到带基点球面的连续映射同伦类构成的集合.集合二”(幻不总具毛自然的群结构.(对。二1，3，7则不然，因为此时Sr’为群.)群二‘(刀与H;(X，Z)一致 若X为维数至多是2月一2的CW复形(CW一怕mp-Iex)，则可如下定义丫拼)L的群结构对!:].!川e兀”(X卜铃虑映射 (a沐月)。么:X一S”\S”，其中△:万，Xx入一为对角线映射，:.刀:X，5”为类园，甲]的代表儿·依X的维数限制的观点，存在映射.力X争S”冲S”(这里S，丫5”为带基点球面的并集)的唯一同伦类，它和自然包含‘”\/s”二s”又S”的复合与(，x归)A同伦、我们将同+[月卜丫(幻定义为犷f:大，S”的同伦类10，/j任丫(泊，其中():S”丫S‘，夕为折迭映射.在这一运算下集合兀”(X)为Abel群·于是函子:”通常被视为仅在维数至多为2。一2的CW复形范畴内有定义，并取值于Abel群范畴.对维数小于”的CW复形X，丫(幻二0.于是函子丫仅在维数n到2。一2即所谓的稳定维数(stable dimension)内有意义. 若dimX簇2。一2，则丫(幻、二”十’‘SA’)，这里sx是尤的纬垂(suspensi()n).该同构由同纬映象函子{火，s”j，{SX腮”卜{SXs”十‘」给出.若X为任意有限维Cw复形，则对充分大的N，集合记十“(SNX)有群结构(当N)dimx一2”+2时，dim(，“X)二N+dimX共2(炸+帕一2).群斌(川=兀”‘N(S“X)，其中N)dimx一2。」一2.称为CW复形的稳定t几rd]伦群(stable cohomotoPygrouP).群衅因对所有整数n(不仅仅正整数)均有定义.如果取X为两个点(其中之一被指定为基点)、则对。)o有衅(X)=0，司(X)二z;而对刀<0、式(X)/兀、一。(S、)是球面的稳定同伦群. 若(、一，A)为m维CW复形偶，则当爪簇Zn一2时，可定义相对L同伦群(relative coh叨otopygrouP)丫(X，A)=丫(X/A).我们有如一「Abel群的正合序列 记(X)、材(A)*记十’(x，月)、分一’(X)、 *记斗1(A)、记‘2(X，A)一，一该序列向右无限延伸;但从某项开始所有群均平凡:当!>爪时、兀’(x，A)=二‘因二记(A)=0.该序列向左只能延伸至满足爪蕊2:一2的;.序列中的同态兀‘因一，定(A)及兀‘(X/A)~7r’(X)由自然映射ACX及X~X/A诱导出.同态记(A)~7t.十’(X/A)则按如下方式构造.对于类【fl任记(A)=[A，S‘」及其代表元f:A~夕，选取定义于子空间Ac=X并取值于S‘CD’+’的映射f的一个扩张F:x~D‘+’.映射F诱导出映射x/A~D‘十’/S‘=S‘+’，其同伦类(记十’(x，A)的元素)就是与类【f1任记(A)相对应的. 若(X，A)为带基点的有限维 CW复形偶，则有稳定上同伦群的正合序列 …、，义(幻一，公(月)一，公+’(X，月) 、介沁‘I(X)、一，它在两个方向均可无限延伸.由此我们可将稳定上同伦群视为一种广义上同调论.对任意(不带基点的)有限维CW复形x，令二;(X)=兀;(X日x。，xo)，这里(X日x。，x。)是由具有指定点的X的无交并所得到的带基点的CW复形.设 二又(X，A)二，丢(x/月)=Ke吐，又(X/月)、二丢(Pt)1在有限维CW复形范畴中定义的函子二丢给出了该式的一个广义上同调论.该理论在一点上的值等于球面的稳定同伦群. 和同伦群一样，上同伦群即便对最简单的情形也无法具体算出，这严重地限制了上述函子广泛应用的可能性.
　　

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