补充资料：Poincaré-Bendixson理论

Poincaré-Bendixson理论
Poincare - BendLxson theory

　　【补注】关于不由微分方程定义的平面上的连续流的Poi~一氏以五肠on理论，可在「A3〕第8章中找到完整的讨论;亦见〔All，第2章(那里甚至连局部截面也避免使用).至于平面以外的2维流形，只要Jotdan曲线定理成立，则Poinc蔽一B川山瑙。n理论对每个可定向2维流形也成立(例如对梦，引xR’成立;但对2维环面刮xsl不成立). PojneaJ苗一氏ndixson定理的一个重要推论(或宁可说是证明它的技巧的一个推论)是H .BOhr和W.凡nchel的如下结果(1936):在平面上的连续流中，每个Poisson稳定的轨道或为周期的或为静止点(〔A3]，现.1.21).这个结果也可对某些其他2维流形证明:如Kkin瓶“A5」)(直接应用K砚，叮定理(K力留er山corem”与射影平面([ A41).对于任一紧2维流形上的C“流，可以证明，一个Poisson稳定轨道的闭包或包含一固定点，或为一周期轨道，或者就是整个流形，这时此流形必为一个2维环面(汇A6」)，关于Poisson稳定轨道的进一步的描述，可见〔A2].巧沁口花一B。日加绷1理论汇P‘I幽成一Ba动x，傲l出印叮;】ly明粗pe一价“皿减OHa代op“，1 微分方程定性理论(qUaUtati代tl长幻ry ofd迁比代nt血1叫旧tions)和动力系统理论的一部分，讲到两个一阶微分方程所成的自治系统 交一尤(x.，、2)，j二l，2(*)的轨道的极限(当t，士戈时)性态.(假设保证解的存在和唯一性的条件已满足).此系统在平面的有界部分中只有有限个平衡位置(equ山腼帅沁币on)这个最重要的情况下，H.Poinca此和I，氏.1(l此on的基本结果(见〔lJ和【21)是，任意有界半〔正向或负向)轨道，或者趋于平衡位置〔叫画b巧山11 position)，或者像螺线那样缠绕一个极限环(lin五t cyc卜〕或按类似方式缠绕一个闭分界线(sePam吮)或者缠绕由J七个“联结”某些平衡位置的分界线所构成的’‘分界周线”，或者这半轨道本身就是平衡位置或闭轨道.用得最多的推论就是:若半轨道不离开一个已给的不包含平衡位置的紧区域，则在此区域中必有闭轨道.对于有无限多个平衡位置的情况，或者半轨道为无界的情况，也有一个相当完备但是比较复杂的描述(见[41).最后也能考虑一个平面上的连续流(conii~比flow)而不假设它是由微分方程(。

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