补充资料：Cauchy特征问题

Cauchy特征问题
Caudly characteristic problem

　　对于广泛的一类双曲型方程和抛物型方程，在自变量xl，xZ，…，x，，t的空间E。十1中，以确定方式定向的非闭”维曲面S可以作为它的给值面.例如，如果S是类空曲面，那么(翅.由y问题(Cauchy Problem)(初值给在S上)的提法总是适定的.在Cauchy特征问题中给值面总是特征流形(或者它的某个确定部分).在此情形Cauchy间题可以没有解;如果有解，也可以是不唯一的. 例如，对方程伍=1，xl=x) u:r=0在特征t=0上给值 u(x，0)=叹尤)，u‘(x，0)=v(x)的Cauchy特征问题是不适定的.如果Cauchy特征问题的解存在，那么从方程和第二个初始条件导出的问题可解的必要条件是v‘(x)=O，即仅当，(x)=常数=“时Cau由y特征问题的解可以存在.在此情形，如果;(x)任CZ，t)0，解事实上存在，并由下列公式给出: u(x，t)=代x)+at+试t)，其中p(t)是C，类的任意函数，t)0，满足条件p(0)=p，(0) =0. 为使线性双曲型方程组的Q公勿特征问题的解存在，要求方程组的增广矩阵的阶等于沿特征曲面S的退化矩阵的阶. 存在广泛的一类双曲型方程和方程组，特征曲面可以作为它们的给值面.例如，对于方程 月 艺叭.:‘一u，，=0，(l) 万=l它的特征曲面S是锥面 仓(x，一x?户一(，一，。尹一。.(2) ，二1Cauchy特征问题为:求方程(l)在锥面(2)内正则的解，它在锥面(2)上取预先给定的值. 在一个空间变量(n=1，x:”x)的情形，锥面(2)成为一对通过点(x。，动的直线(x一x。)’=(t一t0)2.这两条直线将变量x，t的平面凡划分为四个角.设域。是这些角中的一个.在此情形特征问题被称为Goursat.问题:确定方程 “”一ur，=0在域Q正则的解u(x，O，它满足条件 u=中，若x一xo=t一to， u=伞，若x一xo=to一l， 中(x。，t。)=认x。，t。).如果特征曲面S同时是退化型或退化阶的曲面，那么Cauchy特征问题可以是适定的. 方程 少用喻一ux，+aux+b巧十cu=f(3)当y>O时是双曲型的，退化线y=0是特征线.当0　　

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