补充资料：Minkowski不等式

Minkowski不等式
Minkowski inequality

」”.以口卿曲小等式I凡七d山袱幻如荆.目ty;M加.幼砚鱿。功.ePaBe“cTBoJ ’_)厚亨M助k0WSki于等李对实数‘，，先)o(，=l，一，陀)与夕>I，有(，睿(一，了，)’‘’“(‘睿·:)’‘p一(‘象，:)’‘”· (1)它是H.M让改oWSki(〔l])导出的.对p<1，p护0，此不等式应取反向(对P<0必须要求x‘，y‘>0).在任一情形下等式成立，当且仅当行{x‘}与{y，}成比例·对p一2，M让水oWSki不等式称为手年不等式(州胡乡eine卿助ty).M让改oWSki不等式能作种种推户(也称M云永OWSki不等式).其中一些可列举如下. 2)羊于和的M让改oWSki不等本·设‘，，)0(‘-l，…，n，j=l，…，m)，并设尹>l，则 (客(，公一)’)’‘p·么(睿·。)’‘’.(2)此不等式对p<1，p笋0是反向的，且对p<0应假定xi)>0.在任一情形下等式成立，当月.仅当行{，，，}，…，{x，.}成比例.(l)还有对多重和与无限和的推广.然而，在取极限过程中对等式成立的叙述要特别留意(见【2]). 不等式(I)与(2)关于艺是齐次的，因而它们有关于各种平均的类似.例如，若M，(x‘)二甲一，(艺中(x，))，这里中(。)=fog:，则 ，，/x、+y，、/l:，，__、.1 M_{止址毛乙七!蕊令M.(x，)+令M。(y，); ‘’一中\2了一2一，、一”2一甲“”’详见【2]. 3)关于积分的M让改OWSki不等式与(2)类似，它的正丽桂篡函子关于J的齐袄桂!设f，。在域xcR”中关于体积元dV为可积函数，则对p>1有 ‘f一，十。一，‘。、“，、/f lfl·己:、’‘，十 \X/\X/ 十/fl。}，己F、“p. \艾/(3)(3)到更一般的函数的推广能自然地得到.进一步的推广为:若k>1，则(J‘丁‘(一，)“，)*‘·)’“‘丁(丁，*(一，)‘·)’‘“己，，这里，只当f(x，力“甲(x)吵(y)时等式成立. 4)其他M江山OWSki型不等式: a)奥宇乘积:若二‘，’，:多0’，则 户‘一，’‘·)(立一)’‘”·(应，，)’‘”· b)Mai上r不等式(Mallkr恤q碑】」ty卜设F(x)为E”上的广义范并设G(y)为它的极函数，则 (x，y)簇F(x)G(y)，其中(·，·)为内积(川】lerp代心uct). c)关于行列式:若A，B为C上非负Hen川te矩阵，则 (det(A+B))’/”)(detA)’l”+(detB)’/”. 5)最后，与M止山owski的名字有关的其他不等式;特别地，在凸分析与数论之中.例如，R胭.-M脚kows址定理(Rrunn一M沉kc阴ski Ul eon改n).【补注】r上的广义范(罗玻扭血曰~)指的是满足下列条件的函数F:l)F(x)>0，对x笋0;2)F(:x)“艺F(x)，对:)o;与3)F(x)+F(夕))F(‘+，)·广义范F的攀形巷(po血form)或攀函数(卯址几孤tion)由 。，__、____.(x，y) G(y)“仃皿x如》云丫价 一丁一F(x)定义，其中(·，·)为内积.

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