1) Ordered field
序域
1.
In this paper, we estalbish the real Nullstellensatz in infinite-dimensional spaces, and characterize those ordered fields for which the indnite-dimensional real Nullstellensatz holds via the Zariski topology of affine spaces and the ordering structure of fields respectively.
在本文中，我们建立了无限维空间中的实零点定理，同时从仿射空间的拓扑结构和域的序结构两个方面，分别刻划了适合无限维实零点定理的序域。
2) Ordered Field and Partially Ordered Field
全序域及半序域
3) Layer-based neighborhood
层序邻域
4) sequence region
顺序区域
1.
Summarizing the previous work concerning qualitative navigation for robots,this paper discusses systemat-ically two qualitative positioning methods-sequence region positioning and orientation region positioning,their own properties and mutual relations,while the experiment result is also presented.
在总结已有定性导航工作的基础上,系统地讨论了定性定位的两种方法即顺序区域和有向区域定位,以及各自的性质和相互关系,并给出了实验结果。
5) Regional sequence
区域序列
6) ordered field
有序域
1.
If the above geometry satisfies also the axioms of order,then we obtain a geometry which is isomorphic to projective geometry over a ordered field.
同构于域上的射影几何,若添加顺序公理,则得到同构于有序域上的射影几何的几何。
2.
In this paper, we difine the affine geometry on a ordered field,than prove that it satisfiedthe axiom of incidence, ordered and parallel of the Hilbert axiom system of geometry Thenwe difine the Euclidean geometry on Pythagoras field and prove that it satisfied farther theaxiom of congruence.
在本文中我们将定义有序域上的仿射几何，并证明它满足Ｈｉｌｂｅｒｔ几何公理体系的结合公理，顺序公理和平行公理。
3.
Let Ω_F be the quaternary division ring imbedded by the ordered field F.
设Ｆ为有序域，Ω＿Ｆ是由Ｆ扩充而得的四元数除环。
补充资料：序域
一种具有关系">"的域F,其中正元素集{x∈F|x>0}在加法和乘法下封闭。常见的实数域就是一种序域，它除了具有域的结构外，还具有序结构，即实数的正负以及它们与代数运算的关系。
序域和形式实域 如果对一个域 F的元素能规定一种性质（称为"正性质"，记作>0）使之满足以下两个条件：
① 对于F的每个元素α,必有而且仅有α=0,α>0,-α>0之一成立；
② 若α>0，b>0，则有α+b>0和αb>0成立，那么F就被称为序域。常常以(F，>)表示由F以及"正性质"所确定的序域。(F，>)中满足α>0的元素α,称为(F，>)的正元素。对于(F,>)中任意二元素α、b,若有α-b>0，则规定α>b。对于同一个域,可以规定不同的"正性质",从而得出不同的序域。下面有例子说明这一情形。
所谓形式实域，是指一个域 F，在其中不存在形如的等式，这里1是F的乘法单位元素，αi都取自F，即－1在F中不是平方和。因此，序域的特征只能是0，同时它又是一个形式实域。反之，对于形式实域至少可以规定一个"正性质"使其成为序域。所以,域F成为序域的充分必要条件是F为形式实域。
阿基米德序域 具有阿基米德"正性质"的域，称之为阿基米德序域。所谓阿基米德"正性质"即设 α是序域(F，>)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b,总能选择适当的自然数n（与b有关）,使得nα>b成立。不满足这个要求的"正性质"，称为非阿基米德"正性质"。具有非阿基米德"正性质"的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为"正性质"，它们都是序域；按阿基米德"正性质"，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。
设Q是有理数域,t是Q上的一个超越元。作纯超越扩张Q(t)，并对它的"正性质"规定如下：对于 Q中的数，"正性质"就是通常的大小关系；令t>0,对于每一正数α,都有α>t。这个规定可以延展到Q(t)的任何二元素之间，使得满足条件②,于是得到一个序域(Q(t)，>)。因为无论取什么自然数n都得不到nt>α,所以(Q(t)，>)是一个非阿基米德序域。
但是,还可以对Q(t)规定另一个"正性质"：对Q中的数,规定如前；而令t取超越数π的大小。这个"正性质"记作′>0，于是(Q(t),′>)就是一个阿基米德序域。
实闭域 若F是个形式实域，而F的任何代数扩张都不再是形式实域,则F称为实闭域。从任何一个形式实域F出发，先作出它的代数闭包Ω，使用佐恩引理,很容易知道在Ω中存在至少一个实闭域。它们都是F的扩张,所以又可称作F在Ω内的实闭扩张，一般来说,形式实域在它的代数闭包内的实闭扩张不是惟一的。
实数域和实代数数域都是实闭域。使实闭域成为序域的"正性质"是惟一的，但是具有惟一"正性质"的形式实域不一定都是实闭域，有理数域就是一例。对于实闭域可以作出许多刻画，其中之一是E.阿廷和O.施赖埃尔给出的著名定理：设F不是代数闭域。F成为实闭域的充分必要条件是，F的代数闭包Ω为F的有限扩张。
实闭域具有许多重要的性质，其中特别重要的一条是A.塔尔斯基的元数学原则，即代数上任何一条初等命题，如果在某一实闭域上成立，那么在其他实闭域上也同样成立。
序域和形式实域的理论，最初是由阿廷和施赖埃尔于1926年建立的。在这一理论的基础上，阿廷成功地解答了希尔伯特第17问题。
参考书目
A.Prestel,Lectures on ForMally Real Fields, Lect.Notes in Math. 1093,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1984.
T.V.Lam,The Theory of Ordered Fields, in Ring Theory & Algebra,Proceedings of Algebra Conference at Univ.OklahoMa, 111,pp.1～152, 1980.
序域和形式实域 如果对一个域 F的元素能规定一种性质（称为"正性质"，记作>0）使之满足以下两个条件：
① 对于F的每个元素α,必有而且仅有α=0,α>0,-α>0之一成立；
② 若α>0，b>0，则有α+b>0和αb>0成立，那么F就被称为序域。常常以(F，>)表示由F以及"正性质"所确定的序域。(F，>)中满足α>0的元素α,称为(F，>)的正元素。对于(F,>)中任意二元素α、b,若有α-b>0，则规定α>b。对于同一个域,可以规定不同的"正性质",从而得出不同的序域。下面有例子说明这一情形。
所谓形式实域，是指一个域 F，在其中不存在形如的等式，这里1是F的乘法单位元素，αi都取自F，即－1在F中不是平方和。因此，序域的特征只能是0，同时它又是一个形式实域。反之，对于形式实域至少可以规定一个"正性质"使其成为序域。所以,域F成为序域的充分必要条件是F为形式实域。
阿基米德序域 具有阿基米德"正性质"的域，称之为阿基米德序域。所谓阿基米德"正性质"即设 α是序域(F，>)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b,总能选择适当的自然数n（与b有关）,使得nα>b成立。不满足这个要求的"正性质"，称为非阿基米德"正性质"。具有非阿基米德"正性质"的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为"正性质"，它们都是序域；按阿基米德"正性质"，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。
设Q是有理数域,t是Q上的一个超越元。作纯超越扩张Q(t)，并对它的"正性质"规定如下：对于 Q中的数，"正性质"就是通常的大小关系；令t>0,对于每一正数α,都有α>t。这个规定可以延展到Q(t)的任何二元素之间，使得满足条件②,于是得到一个序域(Q(t)，>)。因为无论取什么自然数n都得不到nt>α,所以(Q(t)，>)是一个非阿基米德序域。
但是,还可以对Q(t)规定另一个"正性质"：对Q中的数,规定如前；而令t取超越数π的大小。这个"正性质"记作′>0，于是(Q(t),′>)就是一个阿基米德序域。
实闭域 若F是个形式实域，而F的任何代数扩张都不再是形式实域,则F称为实闭域。从任何一个形式实域F出发，先作出它的代数闭包Ω，使用佐恩引理,很容易知道在Ω中存在至少一个实闭域。它们都是F的扩张,所以又可称作F在Ω内的实闭扩张，一般来说,形式实域在它的代数闭包内的实闭扩张不是惟一的。
实数域和实代数数域都是实闭域。使实闭域成为序域的"正性质"是惟一的，但是具有惟一"正性质"的形式实域不一定都是实闭域，有理数域就是一例。对于实闭域可以作出许多刻画，其中之一是E.阿廷和O.施赖埃尔给出的著名定理：设F不是代数闭域。F成为实闭域的充分必要条件是，F的代数闭包Ω为F的有限扩张。
实闭域具有许多重要的性质，其中特别重要的一条是A.塔尔斯基的元数学原则，即代数上任何一条初等命题，如果在某一实闭域上成立，那么在其他实闭域上也同样成立。
序域和形式实域的理论，最初是由阿廷和施赖埃尔于1926年建立的。在这一理论的基础上，阿廷成功地解答了希尔伯特第17问题。
参考书目
A.Prestel,Lectures on ForMally Real Fields, Lect.Notes in Math. 1093,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1984.
T.V.Lam,The Theory of Ordered Fields, in Ring Theory & Algebra,Proceedings of Algebra Conference at Univ.OklahoMa, 111,pp.1～152, 1980.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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