1) partially ordered field
半序域
1.
By the way, we introduce the concept "partially ordered field", and point out some of its properties.
顺带地,我们还引入“半序域”——概念,并指出其一些性质。
2) Ordered Field and Partially Ordered Field
全序域及半序域
3) Semi-field
半域
4) partial order
半序
1.
The method based on the partial order theory is used in this paper to study the solvability of an operator equation Lx=Nx in F-type topological space in which the -auxiliary order is introduced.
在引入-辅助序的F-型拓扑空间中,利用其相关性质,采用半序方法研究了一类算子方程Lx=Nx的可解性,证明了其解的存在性。
2.
The paper discusses how to apply-partial order to designing a new kind of sequence cryptography system.
讨论了半序在序列密码设计中的应用问题,给出了生成伪随机序列的详细算法和matlab实现。
3.
In Hilbert space we define a new partial order.
在实Hilbert空间中引入新的半序,从而导出实Hilbert空间中的几个新锥,讨论了几种不同的锥的性质,最后证明了几个不动点定理。
5) Partial ordering
半序
1.
Some aging criteria defined by Laplace ordering are generalized to the concept of random variable orderings which are partial orderings.
把用Ｌａｐｌａｃｅ序定义的几种寿命分布类推广到随机变量的半序的概念，并讨论了这样一些相应于寿命分布类的半序之间的关系，给出了在可靠性应用方面的解释。
6) semi-order
半序
1.
In this paper, with the semi-ordered theory as a basis,the iterative solutions for the Dirichlet problem of the elliptic equations in a Banch space are discussed by means of the upper and lower methods,which proves the existence of two iterative sequences converged uniformly resentfully to the minimun and maximun soluions of this problem.
以半序理论为工具，在Ｂａｎａｃｈ空间中用上下解方法研究了椭圆方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题的迭代解，并证明了存在两个迭代序列分别一致收敛于该问题的最小解和最大解。
2.
Under the assumption that every choice set is normal,the conditions so defined are proved to be sufficient to guarantee the quasi-transitive,pseudo-transitive and semi-order rationality of fuzzy choice functions but no longer to be necessary for the rationality,as is illustrated through an example.
在选择集为正规模糊集的假设前提下,得出模糊化以后的Schwartz条件仅仅是刻画模糊选择函数拟传递、伪传递及半序理性化的充分条件,同时用实例说明其不再是必要条件。
3.
By semi-order method the existence of couple quasi-solutions for a class of new nonlinear operator equations in Banach spaces is studied.
利用半序的方法,在Banach空间上研究了一类新的非线性算子方程。
补充资料：序域
一种具有关系">"的域F,其中正元素集{x∈F|x>0}在加法和乘法下封闭。常见的实数域就是一种序域，它除了具有域的结构外，还具有序结构，即实数的正负以及它们与代数运算的关系。
序域和形式实域 如果对一个域 F的元素能规定一种性质（称为"正性质"，记作>0）使之满足以下两个条件：
① 对于F的每个元素α,必有而且仅有α=0,α>0,-α>0之一成立；
② 若α>0，b>0，则有α+b>0和αb>0成立，那么F就被称为序域。常常以(F，>)表示由F以及"正性质"所确定的序域。(F，>)中满足α>0的元素α,称为(F，>)的正元素。对于(F,>)中任意二元素α、b,若有α-b>0，则规定α>b。对于同一个域,可以规定不同的"正性质",从而得出不同的序域。下面有例子说明这一情形。
所谓形式实域，是指一个域 F，在其中不存在形如的等式，这里1是F的乘法单位元素，αi都取自F，即－1在F中不是平方和。因此，序域的特征只能是0，同时它又是一个形式实域。反之，对于形式实域至少可以规定一个"正性质"使其成为序域。所以,域F成为序域的充分必要条件是F为形式实域。
阿基米德序域 具有阿基米德"正性质"的域，称之为阿基米德序域。所谓阿基米德"正性质"即设 α是序域(F，>)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b,总能选择适当的自然数n（与b有关）,使得nα>b成立。不满足这个要求的"正性质"，称为非阿基米德"正性质"。具有非阿基米德"正性质"的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为"正性质"，它们都是序域；按阿基米德"正性质"，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。
设Q是有理数域,t是Q上的一个超越元。作纯超越扩张Q(t)，并对它的"正性质"规定如下：对于 Q中的数，"正性质"就是通常的大小关系；令t>0,对于每一正数α,都有α>t。这个规定可以延展到Q(t)的任何二元素之间，使得满足条件②,于是得到一个序域(Q(t)，>)。因为无论取什么自然数n都得不到nt>α,所以(Q(t)，>)是一个非阿基米德序域。
但是,还可以对Q(t)规定另一个"正性质"：对Q中的数,规定如前；而令t取超越数π的大小。这个"正性质"记作′>0，于是(Q(t),′>)就是一个阿基米德序域。
实闭域 若F是个形式实域，而F的任何代数扩张都不再是形式实域,则F称为实闭域。从任何一个形式实域F出发，先作出它的代数闭包Ω，使用佐恩引理,很容易知道在Ω中存在至少一个实闭域。它们都是F的扩张,所以又可称作F在Ω内的实闭扩张，一般来说,形式实域在它的代数闭包内的实闭扩张不是惟一的。
实数域和实代数数域都是实闭域。使实闭域成为序域的"正性质"是惟一的，但是具有惟一"正性质"的形式实域不一定都是实闭域，有理数域就是一例。对于实闭域可以作出许多刻画，其中之一是E.阿廷和O.施赖埃尔给出的著名定理：设F不是代数闭域。F成为实闭域的充分必要条件是，F的代数闭包Ω为F的有限扩张。
实闭域具有许多重要的性质，其中特别重要的一条是A.塔尔斯基的元数学原则，即代数上任何一条初等命题，如果在某一实闭域上成立，那么在其他实闭域上也同样成立。
序域和形式实域的理论，最初是由阿廷和施赖埃尔于1926年建立的。在这一理论的基础上，阿廷成功地解答了希尔伯特第17问题。
参考书目
A.Prestel,Lectures on ForMally Real Fields, Lect.Notes in Math. 1093,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1984.
T.V.Lam,The Theory of Ordered Fields, in Ring Theory & Algebra,Proceedings of Algebra Conference at Univ.OklahoMa, 111,pp.1～152, 1980.
序域和形式实域 如果对一个域 F的元素能规定一种性质（称为"正性质"，记作>0）使之满足以下两个条件：
① 对于F的每个元素α,必有而且仅有α=0,α>0,-α>0之一成立；
② 若α>0，b>0，则有α+b>0和αb>0成立，那么F就被称为序域。常常以(F，>)表示由F以及"正性质"所确定的序域。(F，>)中满足α>0的元素α,称为(F，>)的正元素。对于(F,>)中任意二元素α、b,若有α-b>0，则规定α>b。对于同一个域,可以规定不同的"正性质",从而得出不同的序域。下面有例子说明这一情形。
所谓形式实域，是指一个域 F，在其中不存在形如的等式，这里1是F的乘法单位元素，αi都取自F，即－1在F中不是平方和。因此，序域的特征只能是0，同时它又是一个形式实域。反之，对于形式实域至少可以规定一个"正性质"使其成为序域。所以,域F成为序域的充分必要条件是F为形式实域。
阿基米德序域 具有阿基米德"正性质"的域，称之为阿基米德序域。所谓阿基米德"正性质"即设 α是序域(F，>)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b,总能选择适当的自然数n（与b有关）,使得nα>b成立。不满足这个要求的"正性质"，称为非阿基米德"正性质"。具有非阿基米德"正性质"的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为"正性质"，它们都是序域；按阿基米德"正性质"，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。
设Q是有理数域,t是Q上的一个超越元。作纯超越扩张Q(t)，并对它的"正性质"规定如下：对于 Q中的数，"正性质"就是通常的大小关系；令t>0,对于每一正数α,都有α>t。这个规定可以延展到Q(t)的任何二元素之间，使得满足条件②,于是得到一个序域(Q(t)，>)。因为无论取什么自然数n都得不到nt>α,所以(Q(t)，>)是一个非阿基米德序域。
但是,还可以对Q(t)规定另一个"正性质"：对Q中的数,规定如前；而令t取超越数π的大小。这个"正性质"记作′>0，于是(Q(t),′>)就是一个阿基米德序域。
实闭域 若F是个形式实域，而F的任何代数扩张都不再是形式实域,则F称为实闭域。从任何一个形式实域F出发，先作出它的代数闭包Ω，使用佐恩引理,很容易知道在Ω中存在至少一个实闭域。它们都是F的扩张,所以又可称作F在Ω内的实闭扩张，一般来说,形式实域在它的代数闭包内的实闭扩张不是惟一的。
实数域和实代数数域都是实闭域。使实闭域成为序域的"正性质"是惟一的，但是具有惟一"正性质"的形式实域不一定都是实闭域，有理数域就是一例。对于实闭域可以作出许多刻画，其中之一是E.阿廷和O.施赖埃尔给出的著名定理：设F不是代数闭域。F成为实闭域的充分必要条件是，F的代数闭包Ω为F的有限扩张。
实闭域具有许多重要的性质，其中特别重要的一条是A.塔尔斯基的元数学原则，即代数上任何一条初等命题，如果在某一实闭域上成立，那么在其他实闭域上也同样成立。
序域和形式实域的理论，最初是由阿廷和施赖埃尔于1926年建立的。在这一理论的基础上，阿廷成功地解答了希尔伯特第17问题。
参考书目
A.Prestel,Lectures on ForMally Real Fields, Lect.Notes in Math. 1093,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1984.
T.V.Lam,The Theory of Ordered Fields, in Ring Theory & Algebra,Proceedings of Algebra Conference at Univ.OklahoMa, 111,pp.1～152, 1980.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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