不定方程式

indeterminate equation

未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

二元一次不定方程的一般形式为ax＋by＝c.其中 a，b，c是整数，ab≠0.此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c.若a、b互素，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解，则此方程的解可表为｛(x＝x0＋bt，y＝y0－ct)｜t为任意整数｝。

s(≥2)元一次不定方程的一般形式为a1x1＋a2x2＋…＋asxs＝n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0.此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n.一类特殊的二次不定方程是x2＋y2＝z2，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道(3，4，5)是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25)，(20，21，29)几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－dy2＝1，d是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。

对高于二次的不定方程，相当复杂。当n＞2时，xn＋yn＝zn没有不等于零的整数解，即著名的费马大定理，历经3个世纪，已由英国数学家安德鲁·维尔斯证明完全可以成立。