1) Power Quotient-sum and Power Sum-difference Inequality
幂商和与幂和差不等式
2) the formula of the of the sum of equal powers
等幂和降幂公式
3) Sums and Differences of Idempotent Operators
幂等算子的和与差
4) Unequal-power sum squeezing
不等幂次和压缩
5) power sum
等幂和
1.
With the method of coefficients comparison,this paper makes improvement to a classic formula on power sum of successive natural numbers,educes three groups of calculating formulas on the coefficients of the power sum,and puts forward four conjectures.
利用比较系数法,改进了传统的连续自然数等幂和的计算公式,得到了3组具体的计算公式,提出了4个猜想。
2.
This essay deduce s the power sum formula of an arbitrary arithmetic progression step by step on t he basis of Euler-Maclaurin formula,and then achieres the compute formula of nat ural number power sum-∑mi=1im.
前n个自然数的方幂和 ,∑mi=1im(简称等幂和 )是一个古老的难题 ,从著名的Euler-Maclaurin定理出发 ,给出了任意一个等差列方幂和公式 ,更一般地得到了等幂和的计算公式 。
3.
This essay deduces the power sum formula of an arbitrary arithmetic progression step by step on the basis of Euler-Maclaurin formula,and then achieres the compute formula of natural number power sum-∑ni=1i m.
前n个自然数的方幂和 ,∑ni=1im(简称等幂和 )是一个古老的难题 。
6) Sum of equal powers
等幂和
1.
The a simple and convenient method for sum of equal powers and Bernoulli s number;
等幂和与Bernoulli数的简捷方法
2.
Let p be odd prime number, an be last digits of sum of equal powers at 2p system.
设p为奇素数,αn为等幂和表成2p进制的末位数字,获得等幂和的同余性与等幂和的周期性,从而证明当p-1×m时,αn是最小正周期为4p的周期数列;当p-1│m时,αn是最小正周期为4p2的周期数列,并且完全确定当等幂和表成10进制时的末位数字αn,等幂和的数论性质对G。
3.
A succinct expression and cycl integrating no the sum of equal powers are obtained here and the value of the formula B 1～B 1000 is given.
Bernoulli数与等幂和Sm(n) =1 m+2 m+… +nm 是一个古老的难题 ,在数论研究中有着重要的作用 。
补充资料：商那和修《祖堂集》
【商那和修《祖堂集》】
第三祖商那和修尊者，亦名商诺迦，是西天自然九枝秀草名也，摩突罗国人也。姓毗舍多，父名林胜，母字娇奢耶。在母胎中六年始生。寻后出家，身衣自然化成九条。得庆喜之法，广度群生，大作明灯。乃云：“佛记：‘吾灭度后二百年中，圣者继我，则入三昧观见。’吒利国中有长者子，名日善意而姓首陀。后生三子，少者出家，当续于我，大兴吾教。吾当以小神通至于彼国，不将徒众而自往之。”长者作礼问：“尊者远至，有何所须？”答曰：“我无伴侣，孑然一身。欲命徒侣而归佛道。”长者曰：“我乐世俗，不能出家。若复生子，当给于汝。”师云：“善哉！善哉！”言已，则归本座。
时长者寻后果生三子。前二子不愿出家，第三子名优婆纺多，年十七。尔时和修告父而曰：“佛记此子云：‘吾灭度后二百年中，当第四师而度筹众。’”父闻佛记，则奉尊者，任其出家。师乃问纺多曰：“汝年几岁耶？”子曰：“年十七岁也。”师曰：“汝十七岁，姓十七岁耶？”子曰：“性非十七岁。”子曰：“姓非十七岁。”子白师曰：“为心白耶，为头白耶？”师曰：“此白是发，非心头也。”子曰：“身自十七岁，非姓尔也。”在师左右三四年间，出家具戒，便证圣果。
尔时商那和修告纺多言：“如来以大法眼付嘱迦叶，如是展转，乃至于我。我今付嘱于汝。听吾偈曰：
非法亦非心，无心亦无法。
说是心法时，是法非心法。［具如《宝林传》所说也。］
自商那和修灭度时，当姬周第十一主宣二十三年乙未岁矣。净修禅师偈曰：
胎衣尊者，暗室明灯。
人天耳目，佛法股肱。
非心非色，不灭不增。
良哉至圣，觉海大鹏。
第三祖商那和修尊者，亦名商诺迦，是西天自然九枝秀草名也，摩突罗国人也。姓毗舍多，父名林胜，母字娇奢耶。在母胎中六年始生。寻后出家，身衣自然化成九条。得庆喜之法，广度群生，大作明灯。乃云：“佛记：‘吾灭度后二百年中，圣者继我，则入三昧观见。’吒利国中有长者子，名日善意而姓首陀。后生三子，少者出家，当续于我，大兴吾教。吾当以小神通至于彼国，不将徒众而自往之。”长者作礼问：“尊者远至，有何所须？”答曰：“我无伴侣，孑然一身。欲命徒侣而归佛道。”长者曰：“我乐世俗，不能出家。若复生子，当给于汝。”师云：“善哉！善哉！”言已，则归本座。
时长者寻后果生三子。前二子不愿出家，第三子名优婆纺多，年十七。尔时和修告父而曰：“佛记此子云：‘吾灭度后二百年中，当第四师而度筹众。’”父闻佛记，则奉尊者，任其出家。师乃问纺多曰：“汝年几岁耶？”子曰：“年十七岁也。”师曰：“汝十七岁，姓十七岁耶？”子曰：“性非十七岁。”子曰：“姓非十七岁。”子白师曰：“为心白耶，为头白耶？”师曰：“此白是发，非心头也。”子曰：“身自十七岁，非姓尔也。”在师左右三四年间，出家具戒，便证圣果。
尔时商那和修告纺多言：“如来以大法眼付嘱迦叶，如是展转，乃至于我。我今付嘱于汝。听吾偈曰：
非法亦非心，无心亦无法。
说是心法时，是法非心法。［具如《宝林传》所说也。］
自商那和修灭度时，当姬周第十一主宣二十三年乙未岁矣。净修禅师偈曰：
胎衣尊者，暗室明灯。
人天耳目，佛法股肱。
非心非色，不灭不增。
良哉至圣，觉海大鹏。
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