补充资料：Привалов算子

Привалов算子
Privalov operators

llP朋姗.算子【P曲旧阮四月，.加招;助皿~皿。uePa-，阳]，np佃aJI，参数(Pri论】ovP~t饥) 不用求偏导数而能表示一个函数的调和性条件的算子(见调和函数(han刀。吹允目币。n)).设。是Eudid空间R”(n)2)的有界区域D中的局部可积函数;。(h)表示以x任D为中心，h为半径的球B(x;h)C=D的体积;令 △‘。‘、)二月一.f。(v)、v一“(x、. 仍I儿IJ 、一B(盆;h)上(下)n户阳a-JI帕算子(uPper(ki嚼)Ph明习ov ope扭-t0IS)分别用下面公式来定义: △·。(二)一而卫业共卫2△‘“(二). ，一、一产杯二毛h名一“一’“一声’ 入·。(二)二血里立奋华上△‘。(二). 一、z索三岛h乙~”’、’产’若上、下n功.~算子相同，则np朋a”算子△‘u(x)定义为 △‘u(x)二五‘u(x)二盛‘u(x)二 二*兰共且“。(、、. ‘二毛hz~，，，、一，·若函数。在x〔D具有直到二阶的连续偏导数，则在点x，n户.a仰算子八‘u(x)存在且等同于U内份算子(upla“ope”tor):△‘u(x)=△u(x).nPj旧a仰定理(Pri撇lov tll印此111)称:如果函数“在区域D中连续月‘在D中处处满足条件 查‘u(、)成0感云’u(;)，则。，在D中是调和的.因此，在D中连续的函数u为调和的，当_且仅当在每一点x〔D，当h充分小时有△，“(x)二0;或者换言之，当且仅当 。(二)一牛下{u(夕)d，. 田(h)，(尸*，一’、/一上述在球体上的平均值可以用在球面上的平均值来代替.【补注1更一般的，如果u>一的是下半连续的，则“为尽调积的(llyperha~皿)，当且仅当在{“<菊}一仁有少“蕊0(BlasCbke一npHBa:oB定理(thcoremof Blasehke一即巩且lov)). 对于这个算子，若改用在球面上的平均值并用Zn代替2(。十2)，类似的结论也成立.

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。