补充资料：Maurer-Cartan形式

Maurer-Cartan形式
Maurer-Cartan form

　　加肠侧犷一Ca州匕11形式【M涵岭一Cart田lfo川l;MayPepa-KaPT.a中oPMal 一个Lie群G上的左不变1形式.即G上满足以下条件的1次微分形式田二对于任意左平移l，:x‘~。x，。，x“G，来说，I;。一。.G上Maurer-Cartan形式与在点e处的切空间T。(G)上的线性型一一对应;确切地说，将每一个Ma迎叱r。Cartan形式。映成它的值。。‘T。(G)‘的映射是M~一Car’tan形式所组成的向量空间到T。(G)’上的同构.一个Ma切rer一Cal恤n形式田的微分是由以下公式所定义的G上一个左不变2形式: d。(X，Y)二一。([X，Yl)，(l)这里X，Y是G上任意左不变向量场.设X，，二，X。是T.(G)内一个基，令。，，‘=1，…，n，是Ma让记r一Cart出1形式，使得 (田‘)。(X))=占。，少=l，’二，n.于是 d田一万，轰，“;*。，八。*，‘2)这里弓‘是G上左不变向量场所构成的G的Lie代数g关于由 (X，)。=X‘，i二1，…，n，所确定的基X:，…，X。的结构常数.等式(2)(或(1”称为Ma切民r一C缸tan方程(M~一Caltan闪ua-由邝).它们首先是由L.Mal卫er(以不同的然而是等价的形式)得到的(【1}).形式田，是由E.Cadan在1吠科年引人的(见【21). 令x:，…，x，是在点。。G的一个邻域内由基X，，…，X。所确定的典范坐标，则形式。‘被写成如下形状 田‘一，买‘。‘，1，一x·，dx，，其中矩阵 A(x:，’“，x。)=(A，j( xl，’‘，x。))由公式 ，_一adX 1一e-一 A气x，，‘”，x。)=一丽了一来计算，这里x一艺罗_、、，万:而ad是Lie代数g的伴随表示. 此外，令0是G上这样一个g值1形式，它将G上每一个切向量指派到包含这个向量的唯一的左不变向量场(0称为典范左微分形式(cano面a目lefldif-ferelltial form))，则 0一艺戈‘。‘. 官=1且 己。+冬〔。，。]一。， 一vZ‘“’“J这其实就是Maurer一 Ca到妞n方程的另一种写法.
　　

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