1) Four Theorems of Diophantus
丢番图四定理
1.
The Octet Periodic Law of Natural Numbers and the Four Theorems of Diophantus;
自然数八度周期律暨丢番图四定理
2.
On the basis of discovering the Octet Periodic Law of natural numbers,the four theorems of Diophantus are formulated.
在发现自然数八度周期律的基础上,明确而系统地制定了丢番图四定理,从而准确、彻底、全面地解决了数论中任意正整数究竟能分解成几个平方数之和的这一古老问题。
2) indeterminate(Diophantine) equation
不定(丢番图)方程
3) diophantus
丢番图
1.
In this paper,structured of generative function method and technique is introduced by finding the solution of a kind of diophantus equation,thus we introduce power series such as generative function to apply in combination probabicity.
通过求解一类丢番图方程解的个数,介绍了生成函数的构造方法和技巧,从而以幂级数作为生成函数,介绍了它在组合概率计算中的应用。
4) overdetermined linear Diophantine equations
超定线性丢番图方程组
5) Diophantine equation
丢番图方程
1.
On the Diophantine equation x~p-1=Dy~n;
关于丢番图方程x~p-1=Dy~n
2.
On the solution of the Diophantine equations x~2-2p=y~n;
关于丢番图方程x~2-2p=y~n的解
3.
On the Diophantine equation(15n)~x+(112n)~y=(113n)~z;
关于丢番图方程(15n)~x+(112n)~y=(113n)~z
6) diophantine equations
丢番图方程
1.
On the Diophantine equations x~4±y~6=z~2 and x~2+y~4=z~6;
关于丢番图方程x~4±y~6=z~2与x~2+y~4=z~6
2.
When p is a odd prime and p ≠1 (mod 8), we get all solutions of diophantine equations ( x(x+1)(2x+1)=2p~ky~(2n) ) with elementary theory of number.
若p为奇素数,且p≠1(mod8)时,本文给出了丢番图方程x(x+1)(2x+1)=2pky2n的所有正整数解,并给出了Lucas猜想的一个简单证明。
3.
With the help of the elementary theory of number and Fermat method of infinite descent,some necessary conditions have been proved provided that the Diophantine equations x 4+mx 2y 2+ny 4=z 2 has positive Integer solutions that fit (x,y) =1 m.
利用数论方法及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x4 +mx2 y2 +ny4 =z2 在 (m ,n) =(± 6,-3 ) ,(6,3 ) ,(± 3 ,3 ) ,(-12 ,2 4) ,(± 12 ,-2 4) ,(± 6,15 ) ,(-6,-15 ) ,(3 ,6)仅有平凡整数解 ,并且获得了方程在 (-6,3 ) ,(12 ,2 4) ,(3 ,-6) ,(-6,3 3 )时的无穷多组正整数解的通解公式 ,从而完善了Aubry等人的结
补充资料：丢番图逼近
数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜-2。当α是有理数时，上式不成立
。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式
1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜-μ只有有穷多个解p/q。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。1909年，A.图埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数,其次数 d≥2,那么对于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。
对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,...,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,...,pn满足不等式组
进而，如果α1,...,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,...,pn/q)，适合不等式组
关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,...,αn是实代数数，并且1,α1,...,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,...,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,...,qn适合
。由此可知，联立不等式
只有有限多组解(p1/q,...,pn/q)，以及不等式
只有有限多组整数解p,q1,...,qn。
用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。
自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。
参考书目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜
。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜
丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式
1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜
对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,...,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,...,pn满足不等式组
进而，如果α1,...,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,...,pn/q)，适合不等式组
关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,...,αn是实代数数，并且1,α1,...,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,...,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,...,qn适合
。由此可知，联立不等式
只有有限多组解(p1/q,...,pn/q)，以及不等式
只有有限多组整数解p,q1,...,qn。
用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。
自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。
参考书目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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