补充资料：广义Riemann空间

广义Riemann空间
Riemamian space, generalized

的，即满足方程艺，，g‘，r存二0.对任意:，0<:<1，调和坐标系形成一个C’·“类的图册. 一个K=K‘的有界曲率广义Ri已比曰旧n空间满足条件l)和2)时，是一个常形.田旧nn曲率(Rle~-nian eurvature)K的Riel们。n们空问(见[3]). 侧。比以nn曲率在K和K’(K‘簇K)之间的凡e-订必幻n空间是曲率簇K和)K‘的广义侧ell公”111空间，且满足条件1)和2). 一个“曲率簇K的空间”由(2)中左边的不等式定义，即由以下条件定义: A一)对任意收敛到一点的三角形序列T。， 一占〔T_) ‘而前讨了簇K·(3) 另一个等价的定义和研究广义Ri eroann空间的出发点是建立在比较一个任意三角形T二ABC和常曲率K的空间中具有相同长度的边的三角形TK的基础上的·令，“，夕‘，，‘是这样一个三角形的角;三角形T的相对上角盈定义为了‘(T)一(万十万十不)-(:大+P君+下‘).曲率簇K的空间定义中的条件A一)可用下列条件代替二 A沁任意点都有一个邻域R正，在其中了‘(T)《O对任意三角形丁成立. 关于度量的凹性的更强的性质也成立，即设L和M是从同一点O出发的最短线，7‘(x，y)是常曲率K的空间中边为x二P(O，X)，y二p(O，Y)，:=烈X，Y)(X‘L，Y‘M)的三角形T“中z边所对的角.在R石中(局部地)角7‘(x，力是一个非减函数(下‘(x、，夕、)成下‘(xZ，yZ)当x，簇xZ，夕，城yZ，一个K凹度量).因此可得到下列局部性质二 工)从同一点出发的任意两条最短线之间存在一个角甚至一个“强意义下的角”二。“lim二，，一。，‘(x，夕)(所以，特别地，如果y二常数，则腼二_。(y一:)/x“e仍“e); 11)对R妥中一个三角形的角。，刀，下和对应的三角形T‘， 二簇二‘，声(刀、，下(，尤; ili)在R石中，如果A。一A，B。~B，则最短线A。B，~AB(所以，R‘中端点给定的最短线是唯一的). 对偶于曲率(K的空间，曲率)K的空间满足对偶于K凹性的条件: A广)每一点有一个邻域R妥，在其中对应两条最短线L和M的角7‘(戈，y)是一个非增函数(一个K凸度量(K一convex此tric)，亦见凸度，(eon-vex ITrtric)). 类似于曲率城K的空间，对曲率)K的空间，以下类似于工)和11)的(局部)性质成立:任意两条最短线之间存在一个强意义下的角;对R声中的任意三角形，“)“‘，口)口‘，7)7‘.代替111)，最短线不交叠条件，或等价地，其延长的唯一性条件成立:如果在R笼中ACOAB，Ac，。AB，则或者有AC习AC:或者有AC、。AC， 这样，一个有界曲率空间可由结合决定两类空间(曲率上有界和下有界)的条件得到(进一步，在不等式(3)的左边不需要取直).类似于条件A产)和A于)，条件A)可由以下条件代替: A，)每一点有一个邻域R尤、，对任意三角形叭占‘(T)镬0，“.(T))0. 上述条件又等价于: AZ)对RxK，中的任意四点，存在常曲率凡空间中的相应四点，对应点间有相同的距离，其中K‘石k簇K，一般地，k依赖于R‘、中四点的选取(见【10」)， 曲率(K()K‘)的广义Rie1T眨Inn空间的一个例子是Riell撇nn空间中的如下区域，其中每点处所有二维曲面元的Riernann曲率有上界K(下界K’). 具有内度量的空间中的集合V称为凸的(con·vex)，如果任意两点X，Y‘V可由一条最短线XY连接并且每一条这样的最短线均位于V中. 在【7]中给出了如下结果:如果具有内度量的空间R是由两个曲率簇K的空间R‘，R“沿凸集rCR‘，V’‘C=R’‘粘接而成的，则R也是曲率簇K的空问.粘接条件是R二R’口R“，v‘二V“=R’门R“，并且R’，R”的度量由空间R的度量所诱导， 由定义，从一点O出发的两条曲线L，M在点O有相同方向(san狡direction)，如果它们之间的上角为0(如果L“M，则称乙在点口有确定的定向方向).点O的一个方向(direction)定义为在点O有相同方向的一类曲线，点O的所有方向构成一个度量空间，其中两个方向间的距离由它们的任意两个代表之间的上角决定.这个空间称为点O的方向空间(sPace of direetions) 下述结果已被证明(〔51):如果点o位于曲率(K的空间的一个同胚于E”的邻域中，则点口的方向空间的曲率(l，一般情形下，它不同胚于(n一1)维球面. 在二维情形，曲率簇K的流形的理论作为特殊情形包含于有界曲率流形的理论中(见二维有界曲率流形(two一din笠nsional翔印川bkl of bounded curva-加re)).曲率(K的二维流形的一个例子是具有内度量的R‘中的直纹面，即由端点割出两条可求长曲线L，，L:的最短线内部构成的曲面.如果曲线L:退化为一点O，则此曲面称为由点O在曲线L，上张成的最短线锥(cone of shortests).如果L、是一个三角形OAB，则这样的锥称为曲面三角形(surface than-gle)(见f3」). 度量空间之间的映射华:M!~M:称为非伸长的(non一s‘re‘cl妇ng)，如果对任意X，Y‘M，。、，(X，Y))户、2(势(X)，职(Y)).MI中闭曲线r:到MZ中闭曲线r:上的映射杯rl~rZ称为保长的(leng-th·Preser叨ng)，如果在映射职下rt和rZ的对应弧长相等.设V是常曲率K空间中的凸域，L是V的周界.如果存在一个区域V到度量空间M中的非伸长映射，同时是L到M中闭曲线r的保长映射，则称V优化(m司面ze)r，这个映射称为优化(m司oriz毗)映射. 设RK是有内度量的凸空间，C是点口‘r(r是R‘中的可求长闭曲线)在r上张成的最短线锥，又设当K>O时，r的一长度l<2二/V灭，则在常曲率K的空间中存在一个凸域V优化r，并_且对于相应的优化映射势有中(V)二C.这一性质是曲率毛K的空间特有的.V的周界乙到r上的保长非伸长映射的存在性已经是充分的(见汇81). 圆盘B到度量空间M的连续映射f称为M中的一个曲面(51止Face).设尸是一个三角剖分多边形，即内接于B的三角形T.的复形.顶点为X，Y，Z的三角形T，对应于三边等于点f(X)，f(y)，f(Z)之间的距离的EucUd三角形T夕，设S。(p)是所有三角形T罗的面积S(T了)的和;这时，曲面f的面积(area of the surfacef)S(f)定义为(见[3])当尸的顶点无限接近B时S。(尸)的下极限，S(f)“腼s。(P).这一定义可修改如下(见[6l卜代替f(X)，f(Y)，f(z)，复形p的三角形T*的顶点尤，y，z对应于M中的点xp，Yp，Z”，其中复形P的顶点对应于相同的点，当且仅当它们在f下的象重合.在对复形尸的所有顶点X*，p(f(X、)，Xf)均趋于。的附”假设下，曲面厂的面积L(f)取为三边等于X尸，Y”，Z“之间的距离的Euclid三角形T犷的面积之和的下极限.总有L(f)蕊S(f). 幻如果R‘中的曲面序列f。一致收敛于曲面f，则 L(f)簇腼L(f。)(半连续性). 夕)如果p是R‘到R、中的非伸长映射，且.f是R‘中曲面，则 L(尸of)簇L(f)(KOnM0rop0B原理). 对R‘中的曲面三角形T的面积S(f)不大于对应的三角形T人的面积，当且仅当T等距于T‘时二者相等(局部性质). 的在优化映射(见上述)的存在定理的条件下，面积S(G)不大于常曲率K空间中周长为1的圆盘的面积(等周不等式)(见13】，【61)，在[6J中解决了关于R‘中闭曲线上所张极小面积的曲面的存在性的玲teau问题(几teau prob」em).下述结论已被证明:设R‘是曲率(K的度量完全空扣J(对K>o，直径d(R‘)<二/2丫灭)且设r是R‘中一条闭Jordan曲线，则存在张在曲线r上的具有极小面积L(j)的曲面f.设r，r。(。=1，2，…)是这样一个空间中的闭Jordim曲线，a(r)，a(r。)分别是f和r。上所张曲面的极小面积，如果r，.在某些参数化下一致收敛于r，则a(r)毛lim(T，)· 对具有不定度量的有界曲率二维流形已有研究.具有不定度量的有界曲率高维空间，特别是广义相对论中的空间的不依赖于坐标的定义问题，尚未解决(l少兴)).广义Ri.口.nn空间〔Ri.侧盯盯.nSI珍ce，g翻er司血ed;P皿Maaoao .pocTp明cT的0606川e.”oel 曲率满足某些限制的具有内度t(诫er蒯砒仃元)的空问.“曲率上有界”的空间和其他一些空间属于此类(见!3」).广义Rie~空间不同于Ri~空间(RleIT必n加an sPace)不仅在于其更具有一般性，而且在于其定义和研究仅建立在它们度量的基础上，而不依赖于坐标.当曲率和最短线(长度等于两端点间距离的曲线)的性态满足适当的条件时，广义瓦e宜坦nn空间成为Rien必nn空间，这就给出了Ri。山艺山1空间的一个纯度量定义. 广义Rie订心nn空间的定义是建立在曲率和测地三角形(ge浏esic trlan日e)的角盈(角盈(excess)=内角和一兀)的经典关系上的.这些概念被引人具有内度量的空间，使得空间中每点有一个邻域，其中的任意两点可由一条最短线相连.以下如无另外约定总假设这一条件满足.一个三角形(trian沙)T=A BC是两两连接三个不同点A，B，C(三角形的顶点)的最短线AB，BC，CA(三角形的边)的三元组.在任意度量空间中可定义两曲线间的夹角:设L，M是在具有度量p的空间中从同一点O出发的两条曲线.取点xe乙，YeM(X，Y笋O)，以x=户(O，X)，y二p(O，Y)，z=P(X，Y)为边构造Euclid三角形，y(x，y)是边:所对的角.定义L和M之间的上角(uPper angle)为 石一、加。，(x，y)·(’)三角形的上角是顶点A，B，C处两边之间的上角;，万，节，三角形的角盈是万(T)=石十万+下一二. 有界曲率(簇K且)K‘)的广义R祀叮.nn空间由下述条件定义: A)对收缩到一点的任意三角形序列T。， ，，、一叔T，)、，.叔T.)、，，， K)腼言耐亨)丛计衬食)K’，(2)其中。(Te)是和T。有同样边的EuClid三角形的面积(如果。(T:)二0，则了(T。)=0).在下面两个自然的附加条件下，这样的空间成为Ri日m以nn空间: l)空间的局部紧性(local‘pmP，ctness ofthesP朗e)(这保证了在有内度量的空间中最短线的局部存在性); 2)最短线的局部可延长性(local exte倒比iljtyofshortests)，即每一点有一个邻域U，使得任意最短线XY(X，Y〔U)可延长到端点以外.在所有这些条件下广义RieTT以nn空间是Rlen笼”ul空间(见【4]);更进一步，在每点的邻域中可引人坐标x’，使得度量可由线元d:’二g‘，d二‘d二’给出，其中系数9.，〔评;门C‘，“，0<:<1.所以，可以给出平行移动(paJ甩l七ldisp玩en坦以)(具有连续的r;*)，并且几乎处处可给出曲率张，(eurvatuxe tensor)(见[9]). 进一步，已经证明(【9』)坐标x‘可取成调和

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