补充资料：Hilbert不变积分

Hilbert不变积分
Hflbert invariant integral

F口吮蛇不变积分〔H妞加或加旧自成血脚州;r.月‘6epTa....四二T.“益.皿Terp幼] 对一个闭徽分形式(d还re璐nt阁form)的曲线积分，这个闭微分形式是变分学中的一个泛函的作用的导数.对泛函 J(x)一丁:(:，、，*派)“求称作场(斤泪)的向量函数口(:，分)，使得积分 J’一!):(亡，二，v宜(!，一，) 一女。“，.二‘、.丝鱼兰其巧业工一IJ， 昌一’，一‘刁x‘」一 +女丝达里立些乙兰泣一‘x* 二i口X’不依赖于积分路径.如果这样的函数存在，那么称J’为H习bert不变积分(Hil恢吐泊枪由以访娜卿1).积分号下微分形式的闭性条件产生一个一阶偏微分方程组. F山饮成不变积分用最自然的方式统一了M触沁巧t幻裂拐理论和H叮回ton.」出刀玩理论.由于f的不变性，E山悦找不变积分在连结两点凡=(乌，写)和只“(t:，写)的曲线上的值就成为这对点的称作作用(即由刀)的函数S(只，凡).等位线S=常数称作场U’(:，划)的横截(。习斑记玲目).方程分=口(t，分)的解是泛函J(x)的极值曲线(以加泊吸坛).反之，如果某个区域被一个极值曲线场所覆盖，那么由函数创(t，另)(它等于通过点(t，xi)的极值曲线的导数)所构造的积分J’是F口忱找不变积分.类似的周线的可能性，也就是说，构造Hn悦rt不变积分的可能性，通常就作为如切肠条件(J出刀瓦。n由石叨). 如果由极值曲线瑞(t)所连结的点P0和P，位于一个场中，而曲线分(O在这个场所被盖的区域中经过，那么从E日校滋不变积分的不变性和等式斌/取=U‘(t，礼(t))就可得到有关泛函增量的W公湘加.公式(认喃.ers位璐formd以)，因而也得到极值的W份沛奴a活充分条件(见W出”加旧条件(对变分极值的)(M几记招位哪印劝由由猫(fora珑江访t幻nai。由侧rn口))). 对一定点P0，作用S(P0，P)是点p二(t，分)的函数s(:，、‘)，且J’二扮 5.转化到标准坐标 。(，，二j)一丝色匕品华业三’就可将Hil饮戚不变积分写成 ，一乒s一丁一。(:，x‘，。(‘，x‘，，d‘ +艺几(r，x‘)dx‘， k=】其中 H=艺八护一L， k二l 夕典毕+拭亡，x:，;(。，x‘))一“‘ 己t一、一，甲一，二:、一，一，， .丝冬华一，丘(亡，“)· 日x，二:、一，一，.这些关系式等价于Har团[ton刁叔刀玩方程(见l翻口目奴口.J舀习七理论(H助园ton刁创力bi thcory)). 对测地线场的积分J’由E.玫1切肚ni(【l])在l脚年引进，而对一般情形则由D.F日坟成([2J一【41)于19汉)年引进.

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