补充资料：矩阵论

矩阵论
Matrix theory

　　一卜︶，J 工LJ一一一32 7一1=22拼0。这一矩阵的标准型是l!了0 00n︺11011n甘八日护… 两个nXn方阵A及B相似，如果存在一满秩矩阵尸使得B二尸A尸一‘。一个线性变换或者代换yl=allxl十a12x2+…+al，了，，少:=aZzx;+aoZxZ+…+a加x。，(3)y，=anlxl十a，2x2十‘二+a朋之。可以写成y~Ax，这里y，x是nxl列矩阵，并且称A二(a，)为变换的矩阵。假如用新变量z二尸y及w”尸，(这里尸是满秩的)代人，就得到尸一’之~A尸一‘w或z一尸A尸一’w。于是已给的线性变换用新的变量表示时它的矩阵与A相似。单个线性变换的理论是要求在相似条件下求出变换矩阵的标准型。 假如A一(a，j)是nXn方阵，x是变量，那么矩阵工一以11Ix一A一}x一“21 一a 22二’一a一。⑦一a22.”一凡。x一a”1一a，2.“.J一a朋叫做A的特征矩阵，I二一A的行列式!Ix一AI是二的n次多项式，方程}Ix一Al一O叫做A的特征方程。特征方程的根是A的特征值或特征根，在数学上或物理上的很多应用都要求得到关于矩阵特征值的知识。 n个变量二，，二2，…，x。的二次型(二次形式)是一个2次多项式，它可以写成矩阵乘积二Ax‘，这里x=(xl，xZ，…，x，)是行矩阵，A是n又n对称矩阵。如果作变量代换x~y尸，其结果为二A丫一y尸A尸，y‘。假如尸是满秩的，则新矩阵尸A尸‘叫做与A合同。化简二次型就是要用合同变换化简对称矩阵。一个矩阵A用合同变换可以化为不同的对角形，其特殊形式依赖于组成A的元素及变换矩阵尸的元素的数系(即有理数、实数或复数)。当A已经化为对角形后，对应的二次型是新变量y，，yZ，…，y，的平方的和。 一个元素是复数的方阵A，如果A一A’，则称它为厄米的，这里A是把A中每一元素用它的共扼复数代换得到的矩阵。把厄米矩阵用矩阵变换化为对角形的化简，叫做共扼化简。 一个元素是实数的满秩矩阵尸，如果Pl~p一‘就叫做正交的。如果合同变换把元素是实数的方阵A用PA尸，代换，这里尸是正交矩阵，它就叫做正交变换。假如A是实对称矩阵，那么A可以用正交变换化为对角矩阵.在它的对角线上是A的。个特征值。厄米矩阵及实对称矩阵的特征值都是实数。 一个元素是复数的满秩矩阵尸，如果户~尸一’，叫做酉矩阵。尸是酉矩阵时，对称变换尸A尸一‘叫做酉变换。一个厄米矩阵A用酉变换化为对角形时，在它的对角线上是A的特征值。

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